函数的连续性

1图1-37第九节函数的连续性和间断点有了极限的概念，我们就可以来讨论函数的一种重要特性——连续性。首先，我们应注意到连续性也是客观现实的反映，是从许多自然现象的观察中抽象出来的一种共同特性。如气温T随时间t的变化而连续变化，铁棒长度l随着温度u的变化而连续变化等。它们的共同特性是：一方面在变化，另一方面是在逐渐变化的。可在很短一段时间内，T的变化很小；同样当温度u变化很小时，l的变化也很小。这些现象反映在数学上就是自变量有一个微小的变化时，函数的变化也是微小的。下面我们就专门来讨论这种概念。一、函数的连续性1.预备知识改变量：设变量u从它的一个初值1u变到终值2u，终值与初值的差21uu，就叫u的改变量，记作21uuu。改变量也叫增量。注意：①1u，2u并不是u可取值的起点和终点，而是u变化过程中从1u变到2u。②u可正可负。③u是一个整体记号，不是某个量与变量u的乘积。2.函数yfx在0xx处连续的定义定义1当自变量x在点0x的改变量x为无穷小时，相应函数的改变量000yfxxfxfxfx也是同一过程中的无穷小量，即0lim0xy，则称fx在0x处连续，见图1-37.定理1fx在0x处连续的充要条件是00limxxfxfx。证明由定义1，00000000lim0lim0limlim0lim.xxxxxxxxxyfxfxfxfxfxfx由定理1，我们可将定义1改写为以下定义2.定义2如果0，0，当0xx时，有0fxfx，则fx在0x处连续。3.函数yfx在点0x连续的要求⑴fx在点0x有意义，即有确定的函数值0fx；⑵0limxxfx存在；⑶极限值函数值，即00limxxfxfx。O0x0xx0()fxxx0()fxxyyfxy2这三要素缺一不可。4.连续与极限的区别当fx在0x处有极限时，fx在0x处可无定义，也可有00limxxfxfx。而当fx在0x处连续时，fx在0x一定有意义并且00limxxfxfx必成立。所以，函数yfx在点0x处连续，则函数yfx在0x点处必有极限，反之不成立。5.左右连续定义3如果000lim0xxfxfxfx，则称fx在0x处右连续；如果000lim0xxfxfxfx，则称fx在0x处左连续。所以fx在0x处连续亦可用以下定义描述。定义4若00000fxfxfx，即函数yfx在点0x处左极限等于右极限等于函数值，则函数yfx在点0x处连续。6.fx在某区间连续⑴fx在,ab内连续是指0,xab，fx在0x处连续。⑵fx在,ab上连续是指fx在,ab内连续，在xa点右连续，在xb点左连续。注意：证明分断点处的连续性时一定要用定义4.若fx在,ab内连续，则称,ab为fx的连续区间。7.连续函数的几何意义连续函数yfx的图形是一条不断开的曲线。例1证明31yfxx在1x处连续。证明注意113113113yfxfxx，所以00limlim30xxyx，从而y在1x处连续。例2讨论1,01,01,0xxfxxxx在0x处的连续性。解因为0000limlim11xxffxx，0000limlim11xxffxx，01f，所以00000fff。由定义4，fx在0x处连续，见图1-38.例3证明多项式函数在(,)内连续。证明设1011nnnnPxaxaxaxa。由极限运算法则知yx1O1-1图1-3830(,)x，0000101110010100lim(lim)(lim)limnnnnxxxxxxxxnnnnPxaxaxaxaaxaxaxaPx由0x的任意性知Px在(,)内连续。例4证明有理函数PxFxQx（P为m次多项式，Q为n次多项式），在0Qx点处处连续。证明0(,)x，且00Qx，有000000limlimlimxxxxxxPxPxPxFxFxQxQxQx，所以Fx在其定义域内处处连续。例5求证sinyx在(,)内连续。证明(,)x，给x一个增量()xxxx，则2sin()sin2sincos22xxxyxxx，从而000limlim2sincoslim2cos02222xxxxxxxyxx，所以sinyx在x点连续。由x的任意性知sinx在(,)内连续。例6证明cosyx在(,)内连续。证明(,)x，()xxxx，有cos()cos2sinsin22xxyxxxx，所以000lim2limsinsin2limsin02222xxxxxxxyxx，所以cosx在(,)内连续。二、函数的间断点与函数的连续性相对的概念是函数的间断性。1.间断点的定义若fx在点0x处不连续，则称0x为fx的一个间断点。函数间断的几何解释是fx的图形在0xx处断开。例7讨论2,00,02,0xxyfxxxx的间断点。4解注意000000,00limlim22,00limlim22,xxxxfffxxffxx可见00000fff，所以fx在0x处不连续，即0x为yfx的间断点。这种0000fxfx的间断点，我们称其为跳跃间断点，见图1-39.2.间断点的分类函数fx在0x处产生间断点是由于以下三种情况：⑴fx在0x点无意义，即0fx不存在；⑵fx在0x点极限不存在，即0limxxfx不存在；⑶极限值函数值，即00limxxfxfx。我们称左右极限都存在的间断点为第一类间断点；其余间断点统称为第二类间断点。进而，设0x为fx的第一类间断点，如果还有0000fxfx，则称0x为fx的可去间断点；如果有0000fxfx，则称0x为fx的跳跃间断点。下表给出了间断点的分类情况。00000000000lim0000xxfxfxfxfxfxfxfxfxfx无意义：可补充定义可去间断点第一类间断点：可修改定义和间断点均存在不可去间断点（跳跃间断点）第二类间断点：除去第一类均为第二类间断点3.函数的连续区间讨论函数的连续区间，就是在其定义域内排除间断点，主要在分段点、端点来考虑是否为间断点。例8研究tanyx在2x处的连续性。解因为tanyx在2x处无意义，所以2x是间断点。又因为2limtanxx，即极限不存在，所以2x属第二类间断点，通常称其为无穷间断点，见图1-40.例9讨论1sinyx在0x点的连续性。O-2yfxxy2图1-39Oyx2图1-405解因为1sinyx在0x处无意义，且01limsinxx不存在，所以0x为y的第二类间断点。这时，1sinyx在-1和1内来回振荡，通常称其为振荡间断点，见图1-41.例10讨论211xyx在点1x处的连续性。解因为y在1x处无意义，故1x为间断点。但111(1)(1)limlimlim(1)21xxxxxyxx，从而可补充定义(1)2y，则函数21,112,1xxyxx在定义域内处处连续。例11讨论,11,12xxyx在点1x处的连续性，见图1-42.解注意1(1)2y而11limlim1(1)xxyxy，所以1x为第一类可去间断点，修改定义(1)y1后，则函数,11,1xxzx处处连续，称函数z为函数,11,12xxyx的连续延拓函数。习题1.91.设函数2,012,12xxfxxx，试讨论fx在1x处的连续性。2.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点。（1）22132xfxxx；（2）211fxx；（3）1xfxe；（4）1cosfxx3.设11xfxx，问怎样补充定义0f，才能使fx在0x处连续。4.当A为何值时，函数2cos2cos3,0,0xxxfxxAx在0x点处连续。第十节连续函数的运算与初等函数的连续性11-11xyO图1-41O112yx图1-426一、连续函数的运算1.连续函数的和仍然是连续函数定理1有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数。证明以两个函数为例，设fx，gx均在0x点连续，考虑Fxfxgx。由00limxxfxfx，00limxxgxgx以及和的极限等于极限的和，有0000000limlimlimlimxxxxxxxxFxfxgxfxgxfxgxFx所以fxgx在0x点连续。一般地，我们有000121100limlimlimmmxxxxxxmfxfxfxfxfxfxfx，其中m为有限正整数。2.连续函数的积仍然是连续函数定理2有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数。证明以两个函数为例，设fx，gx均在0x点连续，考虑Fxfxgx。注意到00limxxfxfx，00limxxgxgx以及积的极限等于极限的积，我们有0000000limlimlimlimxxxxxxxxFxfxgxfxgxfxgxFx，所以fxgx在0x点连续。一般地，我们有000121100limlimlimmmxxxxxxmfxfxfxfxfxfxfx，其中m为有限正整数。3.连续函数的商仍然是连续函数定理3两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零。证明由00limxxfxfx，00limxxgxgx以及分母不为零时，商的极限等于极限的商，设0gx，我们有00000limlimlimxxxxxxfxfxfxgxgxgx，所以fxgx在0x点连续。7例1tanx，cotx，secx，cscx均是两个连续函数sinx，cosx之商，而sinx，cosx是在(,)上连续的函数，所以tanx，cotx，secx，cscx在它们的定义区间内（排除分母为零的点）连续。从而可得，三角函数在其定义区间内连续。4.单调的连续函数的反函数也单调、连续定理4如果函数yfx在某区间上单调且连续，那么它的反函数xy也在对应的区间上单调且连续。证明设yfx的