1.4等可能概型(古典概型)

一、等可能概型二、典型例题三、几何概率四、小结第四节等可能概型(古典概型)23479108615抽取时这些球是完全平等的，即10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.1324567891010个球中的任一个被取出的机会都是1/10引例：一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1－10.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.我们用i表示取到i号球，i=1,2,…,10.称这样一类随机试验为古典概型.34791086152且每个样本点{i}(i=1,2,…,n)(或者说基本事件)出现的可能性相同.S={1,2,…,10},则该试验的样本空间如i=2称这种试验模型为等可能概型或古典概型.1.定义若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同.一、古典概型（等可能概型）怎样计算等可能概型中事件的概率,,,1nieAii即).()()(21nAPAPAP由概率的公理化定义知)()(11iniAPSPUninAPi,,2,1,1)(记;,,,21neeeS)(iAnP2.古典概型中事件概率的计算公式,21kiiiAAAA设事件A包含其样本空间S中k个基本事件:即又由于基本事件是两两互斥的。于是，AP...21kiiiAAAPkiiiAPAPAP21nk中的基本事件总数包含的基本事件数SA事件A发生的概率kiiiAAA,,,21称此概率为古典概率,这种确定概率的方法称为古典方法.这就把求古典概率的问题转化为对基本事件的计数问题.设试验E的样本空间由n个样本点构成，A为E的任意一个事件，且包含m个样本点，则事件A出现的概率记为:.)(中基本事件的总数所包含的基本事件数SAnmAP若记A={摸到2号球}P(A)=?P(A)=1/10记B={摸到红球}P(B)=?P(B)=6/10223479108615132456例1抛两枚硬币，求出现一个正面一个反面的概率.该试验的样本空间为他计算得这是一个古典概型这不是等可能概型！解：TTTHHTHHS,,,,事件“一个正面一个反面”:A的有利场合是THHT,2142AP18世纪著名的法国数学家达朗贝尔取样本空间为TTHTHHS,,31AP故所求概率为袋中有只白球，只红球.从袋中任取只球，例2abn求取到只白球的概率.ank,min解：从只球中任取只，样本点总数为bannbaC取到只白球的有利场合数为kknbkaCCnbaknbkaCCCP二、计算古典概率的方法1.加法原理设完成一件事有n种方式，第一种方式有m1种方法，第二种方式有m2种方法,…；第n种方式有mn种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有m1+m2+…+mn种方法.1m2mnm例如，某人要从甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3+2种方法回答是2.乘法原理设完成一件事有n个步骤，第一个步骤有m1种方法，第二个步骤有m2种方法,……第n个步骤有mn种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，完成这件事的方法总数12nnmmmN21例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？可以有种打扮23加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础.3.排列、组合的几个简单公式)!(!)())((knnknnnnpkn121（1）排列:从n个不同元素取k个（1kn)的不同排列总数为：≤≤k=n时称全排列!))((nnnnpPnnn1221knnnn从n个不同元素取k个（允许重复）（1kn)的不同排列总数为：≤≤例如：从装有4张卡片的盒中有放回地摸取3张3241n=4,k=3123第1张4123第2张4123第3张4共有4.4.4=43种可能取法!)!(!!kknnkPCknkn2、组合:从n个不同元素取k个（1kn)的不同组合总数为：!kCPknknknC有时记作kn,称为组合系数.排列和组合的区别:顺序不同的排列视为不同的排列,而组合与顺序无关.例如,从5个球中任取3个的取法共有多少种?答:共有)10(35C种取法.又如,1至5五个数字可组成多少个没有重复数字的三位数?答:总共可以组成60)(35P个没有重复数字的三位数.注:n个不同元素分为k组,各组元素数目分别为krrr,,,21的分法总数为,!!!!21211krrrrnrnrrrnCCCkknrrrk21例3将只球随机地放入个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率。n()Nn任一只球进任一盒子是等可能的,故这是古典概型问题故所求概率为样本点总数为“每个盒子至多有一只球”的有利场合数为nNNNN(1)[(1)]nNANNNnnNnApN(1)(1)nNNNnN基本事件解：4.古典概型的基本模型:摸球模型(1)无放回地摸球问题1设袋中有4只白球和2只黑球,现从袋中无放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率.解},2{只球都是白球摸得设A基本事件总数为,1516CCA所包含基本事件的个数为,1314CC15161314)(CCCCAP故.52(2)有放回地摸球问题2设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球的概率.解}3,2{次摸到红球第次摸到黑球前设A第1次摸球10种第2次摸球10种第3次摸球10种6种第1次摸到黑球6种第2次摸到黑球4种第3次摸到红球基本事件总数为,101010103A所包含基本事件的个数为,466310466)(AP故.144.0课堂练习1o电话号码问题在7位数的电话号码中,第一位不能为0，求数字0出现3次的概率.2o骰子问题掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的概率.)63:(3p答案)10991:(6333619CCp答案5.古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量无限问题1把4个球放到3个杯子中去,求第1、2个杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可放任意多个球.33334个球放到3个杯子的所有放法,333334种个2种24C个2种22C因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为422243CCp.272(2)每个杯子只能放一个球问题2把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能放一个球,求第1至第4个杯子各放一个球的概率.解第1至第4个杯子各放一个球的概率为41044ppp789101234.2101球--粒子，盒子--相空间中的小区域,则这个问题相应于统计物理学中的马克斯威尔·波尔茨曼（Maxwell-Boltzmann）统计概率论历史上有名的问题--生日问题参加某次聚会共个人,求没有两人生日相同的概率n只球n个人n个人生日各不相同{}Pn,则,365天个盒子365365365nnA至少有两人生日相同365{}1365nnAP2025304050551000.410.570.710.890.970.990.9999997np结果有点出乎人们意料例4将3个球随即放入4个杯子中,问杯子中数最多的球分别为1,2,3时的概率各是多少?解设CBA,,分别表示我们认为球是可以区分的,于是,放球过程的所有可能结果数为.43n(1)A所含的基本事件数:即是从4个杯子中任选3个杯子,每个杯子放入一个球,34C杯子的选法有种,球的放法有3!种,故)(AP33443!C.83个杯子中的个数最多的球数1,2,3的事件.分别为解(2)C所含的基本事件数:由于杯子中的最多球数是3,即3个球放在同一个杯子中故)(CP种放法,共有4344.161(3)由于三个球放在4个杯子中为,CBA显然,SCBA且CBA,,互不相容,故)(BP的各种可能放法)()(1CPAP.169事件例5求下列各事件的概率:将标号为1,2,3,4的四个球(1)(3)(4)(2)各球自左至右或自右至左顺序;第1号球排在最右边或最左边;第1号球与第2号球相邻;第1号球排在第2号球的右边(不一定相邻).解将4个球随意地排成一行有4!=24种排法,基本事件总数为24.记(1),(2),(3),(4)的事件别为.,,,DCBA即随意地排成一行,1,2,3,4的恰好排成分三、典型例题(1)事件AA中有种排法,故有.121242)(AP各球自左至右或自右至左恰好排成1,2,3,4的顺序;2(2)事件B12)!3(2B中有种排法,故有.212412)(BP第1号球排在最右边或最左边;12232其余两个球可在其余两个位置任意排放，共有种排法,因而C有种排法，故.2/124/12)(CP(3)事件C先将第1,2号球排在任意相邻两个位置,23第1号球与第2号球相邻;共有种排法,2！(4)事件D第1号球排在第2号球的右边的每一种排法,换第1号球和第2号球的位置便对应于第1号球排在交第2号球的左边的一种排法,反之亦然.因而第1号球排在第2号球的右边与第1号球排在第2号球的左边的排法种数相同,各占总排法数的,2/1故有.2/1)(DP四、几何概型古典概型的特点：基本事件的等可能性有限个样本点怎样推广到“无限个样本点”而又有某种“等可能性”？解：认为任一点能钻探到石油是等可能的,则所求概率为例如：某5万平方公里的海域中，大约有40平方公里的大陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探，问能够发现石油的概率是多少？400.000850000p定义当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量(长度、面积、体积)相同的子区域是等可能的，则事件A的概率可定义为.)(SSAPA说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概型...),(几何概型定的概率称为量来合理规这样借助于几何上的度区域的度量的子是构成事件是样本空间的度量其中ASSA那么.0,0TyTx两人会面的充要条件为,tyx例6甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间t(tT)后离去.设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.会面问题解,,时刻的分别为甲、乙两人到达设yx故所求的概率为正方形面积阴影部分面积p222)(TtTT.)1(12Ttxoytxytyx若以x,y表示平面上点的坐标,则有tTT“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.注意：在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏。3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型。最简单的随机现象古典概型古典概率样本点总数所包含样本点的个数AnmAP)(几何概型试验结果连续无穷五、小结2o生日问题某班有20个学生都是同一年出生的,求有10个学生生日是1月1日,另外10个学生生日是12月31日的概率.(一年按365天算))92:(答案)365:(2010101020CCp答案课堂练习1o分房问题将张三、李四、王五3人等可能地分配到3间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.