关于各种形状透镜的焦距公式

第28卷第2期唐山师范学院学报2006年3月Vol.28No.2JournalofTangshanTeachersCollegeMar.2006──────────收稿日期：2005-09-10作者简介：石凤良（1965-），男，河北乐亭人，唐山师范学院物理系副教授，理学硕士。-72-关于各种形状透镜的焦距公式石凤良（唐山师范学院物理系，河北唐山063000）摘要：采用直观的方法得出了空气中各种形状的薄透镜的焦距公式，使其物理意义更加明显。关键词：透镜；焦距；公式中图分类号：O435.1文献标识码：A文章编号：1009-9115（2006）02-0072-03在中学物理教材中，一般不讨论透镜的焦距与其形状、材质的关系。大学物理教材通常借助虚物的概念或费马原理给出焦距公式[1]。本文采用较直观的方法给出空气中各种形状的薄透镜的焦距公式，物理意义更加明显。1预备知识1.1两个密接薄透镜的组合问题如图1所示，薄凸透镜L1、L2零距离接触，其焦点分别为F1、F2；焦距分别为f1、f2。平行于主光轴的光线AB经L1折射后射向F1点，过O2点作光线BC的平行光线并与过F2点的焦平面交于D点，则光线CD即为AB经L1、L2折射后的最终出射光线，与主光轴的交点F是L1、L2的合成焦点。F点到O2点的距离便是合成焦距f。由2CFO∽2DFF得2fCFffFD，化简得1212fffff；由1CFF∽2DOF得1ffCFfFD，则12ffffff。上述公式[2]不仅对紧密接触的两凸透镜成立，对紧密接触的两凹透镜，或凸透镜与凹透镜仍然成立。但应注意：凸透镜焦距为正，凹透镜焦距为负。1.2两侧不对称的透镜，两侧焦距依然相等对于两侧严格对称的双凸透镜或双凹透镜，其两侧的焦距严格相等是很容易理解的。实际上，两侧不对称的透镜（比如平凸、平凹透镜），其两侧的焦距依然相等。这是因为无论何种透镜，只要其身处空气之中，通过镜心的光线的方向将不改变（透镜的中心部位很近似平行玻璃板）[3]，而这一点必然要求两侧的焦距相等。以图2所示平凸透镜为例解释如下。高度为y的物体AB经凸透镜成像为高度y’的A’B’，光线BC经平凸透镜的凸面折射一次成为出射光线DB'，右侧焦点F右到O点的距离为右侧焦距f右。假象B'点发出平行于光轴的光线B'D'，该光线将经过凸面及平面的两次折射后成为出射光线C’B。焦点F左到O点距离为左侧焦距f左。设A点到O点的物距为u，A'点到O点的像距为V，由于ABO相似于ABO，则yvyu。而△A'F右B相似于△OF右D（实际上OD也很近似垂直光轴且OD=y）。于是右右ffvyy，故右右ffvuv，整理得vuuvf右，同时△AF左B相似于图1透镜组合O1O2···F1A··DCB·F21f··FL1L22ff····F右左fA···D图2不对称透镜CBOA’··F左B’C’D’右f·石凤良：关于各种形状透镜的焦距公式-73-△OF右D’（实际上OD’也很近似垂直光轴OD’=y’），于是左左fufyy，故左左fufuv，整理得vuuvf左，显然右左ff。2各种形状透镜的焦距公式2.1平凸透镜如图3所示，设与平凸透镜的凸面相应的球面半径为r，其球心为C。距主光轴很近且平行主光轴的入射光线AB，无折射地变成光线AD而入射到凸面上，CD为法线，入射角为（很小），设透镜的折射率为n，则其折射角近似为n，图3中ODr=，OD=f凸，则ODtgr，fOD凸[(1)](1)tgnn-?故得f凸0(1)rn。如果n=1.5，则f凸=2r，即球面半径越大，透镜焦距越大。2.2平凹透镜如图4所示，入射角为的入射光线（CB为法线），经平凹透镜的凹面折射后，成为折射角为n的出射光线BD，其反向延长线与主轴的交点便是虚焦点。仿照对平凸透镜的讨论，仍可锝1nrf凹但考虑到凹透镜焦距为负值，故1nrf凹。2.3双凸透镜如图5所示，与双凸透镜的前凸面相应的球面半径为r1，与双凸透镜的后凸面相应的球面半径为r2。作辅助线如虚线所示，则双凸透镜可看作是两个平凸透镜的组合，且1101rfn（该式利用了预备知识1.2中的右左ff），2201rfn，于是利用预备知识1.1可得凸双f=121212120(1)()ffrrffnrr。2.4双凹透镜如图6所示，与双凹透镜的前凹面相应的球面半径为r1，与双凹透镜的后凹面相应的球面半径为r2。作辅助线如虚线所示，则双凹透镜可看作是两个平凹透镜的组合，且111rfn（该式仍利用了预备知识1.2中的右左ff），221rfn，于是再利用预备知识1.1可得凹双f=121212120(1)()ffrrffnrr。2.5凹凸透镜图7所示的透镜为凹凸透镜，其中21rr，该透镜可看作为焦距为1101rfn的平凸透镜与焦距为2201rfn的平凹透镜的组合，则f凹凸121212210(1)()ffrrffnrr焦距为正表明此类透镜为会聚透镜。2.6凸凹透镜图8所示的透镜为凸凹透镜，其中21rr,该透镜可看作····r1r2图7凹凸透镜C2C1O2O1r2-r1····O2O1C1C2图6双凹透镜C2··r2r1C1·图5双凸透镜Ff凹rA···D图4平凹透镜CB)1(n)1(n·Ff凸rA···D图3平凸透镜CB)1(nnO第28卷第2期唐山师范学院学报2006年第2期-74-为焦距为1101rfn的平凸透镜与焦距为2201rfn的平凹透镜的组合，则f凹凸121212210(1)()ffrrffnrr焦距为负表明此类透镜为发散透镜。2.7平行板玻璃图9所示的平行板玻璃可看作是焦距为f1的平凸透镜与焦距为210ff的平凹透镜的组合，则f平板1111ffff即平行板玻璃实际上是焦距为无限大的透镜。平行的入射光线，经过平行板玻璃后仍为平行的出射光线。参考文献：[1]姚启钧.光学教程[M].北京:高等教育出版社,1989.186.[2]梁绍荣.普通物理光学分册[M].北京:高等教育出版社,1988.44.[3]姚启钧.光学教程[M].北京:高等教育出版社,1989.188.OntheFocalDistanceFormulaofLensinVariedShapesSHIFeng-liang(PhysicsDepartment,TangshanTeachersCollege,HebeiTangshan063000,China)Abstract:Inthispaper,thefocaldistanceformulaoflensinvariedshapesisobtainedbyusingobjectmethodstomakeitsphysicalmeaningmoreobvious.Keywords:lens;focaldistance;formula责任编辑、校对：孙海祥····O1O2C2C1r2r1图8凸凹透镜图9平行板玻璃