定积分及其应用练习-带详细答案

定积分及其应用题一题面：求由曲线2(2)yx与x轴，直线4yx所围成的平面图形的面积．答案：323．变式训练一题面：函数f(x)＝x＋2－2≤x0，2cosx0≤x≤π2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为()A.52B．2C．3D．4答案：D.详解：画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与x轴所围成的封闭图形的面积为12×2×2＋∫π202cosxdx＝2＋2sinx|π20＝4.变式训练二题面：由直线y＝2x及曲线y＝3－x2围成的封闭图形的面积为()A．23B．9－23C.353D.323答案：详解：注意到直线y＝2x与曲线y＝3－x2的交点A，B的坐标分别是(－3，－6)，(1,2)，因此结合图形可知，由直线y＝2x与曲线y＝3－x2围成的封闭图形的面积为－31(3－x2－2x)dx＝3x－13x3－x21－3＝3×1－13×13－12－－－13－3]－－2＝323，选D.题二题面：如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()．A．14B．15C．16D．17变式训练一题面：函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．答案：π4.详解：设A(x0,0)，则ωx0＋φ＝π2，∴x0＝π2ω－φω.又y＝ωcos(ωx＋φ)的周期为2πω，∴|AC|＝πω，Cπ2ω－φω＋πω，0.依题意曲线段ABC与x轴围成的面积为S＝－∫π2ω－φω＋πωπ2ω－φωωcos(ωx＋φ)dx＝2.∵|AC|＝πω，|yB|＝ω，∴S△ABC＝π2.∴满足条件的概率为π4.变式训练二题面：（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．答案：C.详解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；故选C．金题精讲题一题面：（识图求积分，二星）已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()．A．2π5B．43C．32D．π2答案：变式训练一题面：如图求由两条曲线y＝－x2，y＝－14x2及直线y＝－1所围成的图形的面积．答案：43.详解：由y＝－x2，y＝－1，得交点A(－1，－1)，B(1，－1)．由y＝－14x2，y＝－1，得交点C(－2，－1)，D(2，－1)．∴所求面积S＝2∫10－14x2＋x2dx＋12－14x2＋1dx＝43.变式训练二题面：例1求在[0,2]上，由x轴及正弦曲线sinyx围成的图形的面积.答案：4.详解：作出sinyx在[0,2]上的图象如右sinyx与x轴交于0、、2，所求积2200sin|sin|(cos)|(cos)|4sxdxxdxxx题二题面：（作图求积分，四星）求曲线36yxx与曲线2yx所围成的图形的面积．交点的横坐标分别为2,0,3，12112S．变式训练一题面：求曲线2yx，yx及2yx所围成的平面图形的面积.答案：76.详解：作出2yx，yx及2yx的图如右xy0Л2Лyy=2xy=x2解方程组22yxyx得24xy00xy解方程组2yxyx得11xy00xy所求面积12201(2)(2)sxxdxxxdx12201(2)xdxxxdx212320111|()|23xxx76答：此平面图形的面积为76变式训练二题面：求由抛物线28(0)yxy与直线6xy及0y所围成图形的面积.答案：403.详解：作出28(0)yxy及6xy的图形如右：解方程组2860yxxy得24xy解方程组600xyy得60xy所求图形的面积26028(6)sxdxxdx322620221402|(6)|323xxx题三题面：（1）由曲线yx，直线2yx及y轴所围成的图形的面积为_______．ox12y=xB(2,4)A(1,1)yxO266（2）由曲线2yx与直线2yx所围成的封闭图形的面积为_______．答案：（1）163；（2）92．变式训练一题面：设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（）A．B．C．D．答案：C.详解：根据题意作出函数的图象：根据定积分，得所围成的封闭区域的面积S=故选C变式训练二题面：已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．1/2B．1C．2D．3/2答案：D.详解：由题意图象与x轴所围成图形的面积为1002(1)cosxdxxdx210021()|sin|2xxx11232.故选D．题四题面：（导数与积分结合，二星）设函数()mfxxax的导函数为()21fxx，则21()fxdx的值等于______．答案：56．变式训练一题面：设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则12f(－x)dx的值等于()A.56B.12C.23D.16答案：A.详解：由于f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，所以f(x)＝x2＋x，于是∫21f(－x)dx＝∫21(x2－x)dx＝13x3－12x221＝56.变式训练二题面：设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则12f(－x)dx的值等于()A.56B.12C.23D.16答案：A.详解：由于f(x)＝xm＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1，所以f(x)＝x2＋x，于是12f(－x)dx＝12(x2－x)dx＝13x3－12x221＝56.题五题面：（化简后求积分，四星）（1）求201sin2xdx20sincosxxdx原式4204(cossin)(sincos)xxdxxxdx222.（2）440(sincos)22xxdx变式训练一题面：与定积分∫3π01－cosxdx相等的是()A.2∫3π0sinx2dxB.2∫3π0sinx2dxC.2∫3π0sinx2dxD．以上结论都不对答案：B.详解：∵1－cosx＝2sin2x2，∴∫3π01－cosxdx＝∫3π02sinx2dx＝2∫3π0sinx2dx.变式训练二题面：40cosxdx________.答案：22.详解：因为40cosxdxsinxπ40＝sinπ4＝22，所以∫π40cosxdx＝22.题六题面：（定积分的运用，三星）函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．(1)若φ＝π6，点P的坐标为0，332，则ω＝________；(2)若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．[解析](1)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)求导得，f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)，把φ＝π6和点0，332代入得ωcos0＋π6＝332解得ω＝3．(2)取特殊情况，在(1)的条件下，导函数f′(x)＝3cos3x＋π6，求得Aπ9，0，B5π18，－3，C4π9，0，故△ABC的面积为S△ABC＝12×3π9×3＝π2，曲线段与x轴所围成的区域的面积S＝－fx4π9π9＝－sin4π3＋π6＋sin3π9＋π6＝2，所以该点在△ABC内的概率为P＝S△ABCS＝π4.同类题一题面：设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x－2.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．答案：(1)f(x)＝x2－2x＋1.(2)13.详解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.又f′(x)＝2x－2，所以a＝1，b＝－2，即f(x)＝x2－2x＋c.又方程f(x)＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2－2x＋1.(2)依题意，所求面积为S＝01(x2－2x＋1)dx＝(13x3－x2＋x)|10＝13.同类题二题面：设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（2）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.答案：（1）f（x）=x2+2x+1.（2）13.（3）t=1－321.详解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，又已知f′（x）=2x+2∴a=1，b=2.∴f（x）=x2+2x+c又方程f（x）=0有两个相等实根，∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1.故f（x）=x2+2x+1.（2）依题意，有所求面积=31|)31()12(0123201xxxdxxx.（3）依题意，有xxxxxxttd)12(d)12(2021，∴023123|)31(|)31(ttxxxxxx，－31t3+t2－t+31=31t3－t2+t，2t3－6t2+6t－1=0，∴2（t－1）3=－1，于是t=1－321.思维拓展题一题面：（几何法求积分，四星）（1）计算1201xdx，121sinxxdx；（2）求椭圆22221xyab的面积．22220044aabbSaxdxaxdxaa，转化为圆的面积．同类题一题面：求定积分121(1)xdx的值.答案：2．详解：121(1)xdx表示圆x2＋y2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S半圆，又在x轴上方．所以121(1)xdx＝2．同类题二题面：220(1(1))axxdx的值是（）A.143B.143C.123D.12答案：A.详解：积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积之差．即220(1(1))axxdx1231001|443xdxx143.故答案选Axyo111