第五章--定积分综合练习参考答案

第五章定积分一．判断题1.定积分的定义badxxf)(iniixxfi)(10lim说明ba,可任意分法，i必须是iixx,1的端点．（）2.定积分的几何意义是相应各曲边梯形的面积之和．（）3.xdxxxdxx2sin22sin022（）4.定积分的值是一个确定的常数.（√）5若(),()fxgx均可积，且()()fxgx，则()()bbaafxdxgxdx（）6.若()fx在,ab上连续，且2()0bafxdx，则在,ab上()0fx（√）7.若,,cdab，则()()dbcafxdxfxdx（）8.若()fx在,ab上可积，则()fx在,ab上有界（√）9.21111112xdxx(×)10.20200cos22cos1xdxdxx(×)11.1ln2lnln11212xdxx(×)12.若被积函数是连续的奇函数，积分区间关于原点对称，则定积分值必为零。(√)二．选择题1.下列等式中正确的是(B)(A)xfdxxfdxdba(B)xfdxxfdxd(C)()xadfxdxfxfadx(D)xfdxxf2.已知dttxfx222,则1f(A)(A)3(B)36(C)3(D)633.设函数dttyx01,则y有(B)(A)极小值21(B)极小值21(C)极大值21(D)极大值214.设ba,为常数,若1sin1lim02220dttatxbxxx,则(B)(A)1,4ba(B)1,2ba(C)0,4ba(D)1,2ba5．1212sin4xdxx（B）；A．3B．23C．43D．536．5024xdx（C）；A．11B．12C．13D．147．设()fx连续，则变上限积分()xaftdt是（C）；A．()fx的一个原函数B．()fx的全体原函数C．()fx的一个原函数D．()fx的全体原函数8．设函数()fx在[,]ab上连续，则由曲线()yfx与直线,,0xaxby所围平面图形的面积为（C）；A．()bafxdxB．()bafxdxC．()bafxdxD．()(),fbaab9．定积分()bafxdx是（A）；A、一个常数B、()fx的的一个原函数C、一个函数族D、一个非负常数10．下列命题中正确的是（D）（其中()fx，()gx均为连续函数）。A、在[,]ab上若()fx()gx，则()bafxdx()bagxdxB、()bafxdx()baftdtC、()()badfxdxfxdxD、()(),fxgx则()()fxdxgxdx11．已知'()()Fxfx,则()()xaftadtC;A,()()FxFaB,()()FtFaC,()(2)FxaFaD,()(2)FtaFa12．2030sinlim()xxtdtDx;A,1B,0C,1/2D,1/3三．填空题1．比较下列定积分的大小(填写不等号)(1)21lnxdx212lndxx(2)10xdx101lndxx2．利用定积分的几何意义,填写下列积分的结果.(1)20xdx2(2)dxxaaa22221a3.baatbtdtedxdsin04．由曲线xxxxy及与直线2,112轴所围成的曲边梯形的面积用定积分表示为221(1)xdx5．自由落体的速度V=gt其中g表示重力加速度，当物体从第１秒开始，经过２秒后经过的路程用定积分表示为21gtdt_．6．定积分的值只与___被积函数____及___积分区间____有关，而与积分变量的符号无关．7.设)(xf是连续函数，且10)(2)(dttfxxf，则)(xf=1x8．设()fx为连续函数，则2[()()]aaxfxfxdx＿＿0＿＿＿；9．若()1()()bafxdxfxgx，则()()()bagxdxfxgx＿＿1ba＿＿＿；10．函数()fx在[,]ab上有界是()fx在[,]ab上可积的＿＿必要＿＿＿条件，而()fx在且是[,]ab上连续是()fx在[,]ab上可积的＿＿充分＿＿＿条件。四．计算题1．203cossinxdxx解：原式41cos41cos204203xxdx2．adxxax0222解：令taxsin，则tdtadxcos当0x时0t，当ax时2t原式2022coscossintdtatata20420244cos182sin4dttatdta42044164sin41828ataa3．31221xxdx解：令tgx，则ddx2sec当1x，3时分别为4，3原式dtg3422secsec342sinsind33224．1145xxdx解：令ux45，则24145ux，ududx21当1x，1时，1,3u原式61581132duu5．411xdx解：令tx，tdtdx2当1x时，1t；当4x时，2t原式2121211212tdtdtttdt32ln221ln22121tt6．14311xdx解：令ux1，则21ux，ududx2当1,43x时0,21u原式2ln21111212210021duuuduuu7．21ln1exxdx解：原式2211ln1ln11lnln11eexdxxdx232ln1221ex8．02222xxdx解：原式02022111xarctgxdx24411arctgarctg9．dxx02cos1解：原式002cos2cos2dxxdxx220cos2cos2dxxxdx22sinsin2220xx10．dxxxsin4解：∵xxsin4为奇函数∴0sin4xdxx11．55242312sindxxxxx解：∵12sin2423xxxx为奇函数∴012sin552423dxxxxx12．41lndxxx解：原式41ln2xxd4141lnln2xdxxx4112ln42dxxx412122ln8dxx42ln813．10xarctgxdx解：原式10221arctgxdx1022102121dxxxarctgxx10210121218xdxdx101021218arctgxx21414．dxxe1lnsin解：原式eedxxxxxx111lncoslnsinedxxe1lncos1sineedxxxxxxe111lnsinlncos1sinedxxee1lnsin11cos1sin故11cos1sin2lnsin1edxxe15．dxxxx02cos1sin解：令tx2，则原式2222cos12sin2dtttt2222sin1cossin1cos2dtttttt4sinsin1cos220202tarctgdttt五、综合题1．计算2221limnnnnn。解：原式nnnnnn121lim321lim101dxxnninin2．设xf是连续函数，且102dttfxxf，求xf。解：令Adttf10，则Axxf2，从而AdxAxdxxf22121010即AA221，21A∴1xxf3．设xf有一个原函数为x2sin1，求202dxxfx。解：令tx2，且xxxf2sinsin120020412122dttftdttftdxxfx0004141dttfttfttdf0sin12sin41020ttt4．已知2xexf，求10dxxfxf。解：22xxexf102101021xfxfdxfdxxfxf210222212exex5．设0x时，dttftxxFx022的导数与2x是等价无穷小，试求0f。解：200302202lim3limxdttfxxdttftxxxxxxfxxdttfxxx2lim2lim000x,0102f故210f6．若xf在,0连续，20f，1f，证明：03sinxdxxfxf。解：因00sinsinxfxdxdxxf00cossinxdxxfxfx0cosxdxxf000sincoscosxdxxfxxfxxdf0sin0xdxxfff00sin3sin21xdxxfxdxxf所以03sinxdxxfxf。7．求曲线xdttty021在点(0,0)处的切线方程。解：21xxy，则20y，故切线方程为：020xy，即xy2。8．设xg是ba,上的连续函数，dttgxfxa，试证在ba,内方程0abbfxg至少有一个根。证：由积分中值定理，存在ba,使baabgdttgbf即0abbfg故是方程0abbfxg的一个根。9．证明:（1）2200sincossincoscoscosxxdxdxxxxx（2）由上面结论求20cossincosxdxxx（1）提示令2tx；（２）、2。4、她们宁可做一时的女王，不愿一世的平庸。5、男人插足叫牛逼，女人插足叫小三。6、你要成佛成仙，我跟你去，你要下十八层地狱，我也跟你去。你要投胎，我不答应！7、忘川之畔，与君长相憩，烂泥之中，与君发相缠。寸心无可表，唯有魂一缕。燃起灵犀一炉，枯骨生出曼陀罗。8、如果还有机会的话，我一定会让你回到我的身边，我不想让你和别人结婚。9、每个人心里都有脆弱的一面，如果放大这种脆弱的话，没人想活。10、我做了一个很伟大的决定，看你这么可怜，又没有朋友，我们做朋友吧！11、我不该只是等待，我应该去寻找。12、哪怕再花上七十年，七百年，我想我肯定会找到他！13、恶鬼：你敢打我！夏冬青：你都要吃我了，我还不能打你啊！14、人活着就会失去，你失去的不会再来，你争取的永远都会失去！15、阿茶：我可以让你抵抗时间的侵袭。弹琴盲人：那我是不是也就失去了时间？16、孔明灯真的很漂亮，就像是星星流过天河的声音。17、冥王阿茶：想早点见到我吗？冬青：不用了吧，顺其自然。18、我妈把我生得太仓