全等三角形复习经典例题

全等三角形（复习）1.全等三角形的性质:对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。2.全等三角形的判定:知识点回顾①一般三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS②直角三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS、HL知识点回顾3.三角形全等的证题思路：已知一边一角ASA找夹边已知两角SAS找夹角已知两边SSS找另一边HL找直角SAS找夹角的另一边边为角的邻边AAS找任一角ASA找夹角的另一角AAS找边的对角AAS找任一边①②③边为角的对边方法指引全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时：①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。②分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。注意：有些题可能要证明多次全等或者进行一些必要的等价转化1、已知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。2、经过平移、翻折、旋转等变换得到的三角形和原三角形全等。在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F。（1）求证：△FOE≌△DOC；（2）求sin∠OEF的值；（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求的值。GHCDAB真题回放全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例1:如图所示，△ABC的两条高BD、CE相交于点P，且PD＝PE。求证:AC＝AB。证明：连结AP。因为∠PDA＝∠PEA＝90°，PD＝PE，PA＝PA，所以△PDA≌△PE（HL）所以AD＝AE又因为∠CAE=∠BAD所以△ACE≌△ABD（ASA）所以AC＝AB例2：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。已知：如图，AD是△ABC的中线，求证：)(21ACABADABCDE证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BEEDBADC∵AD是△ABC的中线∴BD＝CD又∵DE＝AD∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC=EB在△ABE中，AEAB+BE＝AB+AC即2ADAB+AC∴)(21ACABAD例3：如图所示，△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线交BC于D。求证：AB+BD=AC思路1：延长AB到E，使BD=BE，证明△AED≌△ACD。证明：延长AB到E，使BE=BD，连结ED，则∠E=∠BDE。∴∠ABD=∠E+∠BDE=2∠E又∵∠ABC=2∠C，∴∠C=∠E∵∠AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADC，∴AC=AE。即AC=AB+BE=AB+BD。思路2：在AC上取一点E，使AE=AB，证明△AED≌△ABD。例4：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.思路：利用全等变换中的“旋转”证明：延长CB到G，使BG=DF.由BG=DF，∠ABG=∠D=90°，AB=AD,得出△ADF≌△ABG（SAS）所以∠GAB=∠FAD,AG=AF.又因为BE+DF=EF，所以EF=EG.由EF=EG，AG=AF，AE=AE,得出△AEF≌△AEG（SSS）所以∠GAE=∠FAE因为∠BAF+∠FAD=∠BAF+∠GAB=∠GAF=90°，所以∠EAF=1/2∠GAF=45°FEDCBA总结提高学习全等三角形应注意以下几个问题：（1）要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；（2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”；（5）添加恰当的铺助线，问题迎刃而解。再见