线段垂直平分线的性质及判定定理

线段垂直平分线的性质与判定定理1.理解和掌握线段的垂直平分线的性质和判定，并能利用它们来进行证明或计算。2.通过经历线段的垂直平分线的性质与判定的证明过程，体验逻辑推理的数学方法。3.了解数学和生活的紧密联系，培养用数学的能力。1.掌握线段垂直平分线的性质和判定。2.运用线段的垂直平分线的性质和判定解题。已知直线l垂直平分线段AB，垂足为C；在l上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，你能发现什么？PlCPA=PBP1A=P1B……由此你能得到什么规律？命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。动起来！AB●P1猜测（命题）1：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。已知：如图，直线l⊥线段AB,垂足为C,且AC=CB.求证：PA=PBABPlC证明：∵l⊥AB于点C（已知）,∴∠PCA=∠PCB=90°（垂直的定义）在△PAC和△PBC中，AC=BC（已知）,∠PCA=∠PCB（已证）,PC=PC（公共边）∴△PAC≌△PBC（SAS）.∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）.定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。ABPMNABPMN∵点P在线段AB的垂直平分线上（已知）∴PA=PB（线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。）1、如图直线MN垂直平分线段AB，则AE=AFABMEFN2、如图线段MN被直线AB垂直平分，则ME=NE√ABMNE3、如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？AB=AC=CEAB+BD=DEECDBA4、已知:如图，AB=AC=8cm,DE是AB边的中垂线交AC于点E，BC=6cm，求△BEC的周长EDBCA解：∵DE是AB边的中垂线（已知），∴AE=BE（线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等）．∴AE+EC=BE+EC=8cm（等式性质）.∵AC=8cm（已知）,∴C△BEC=BE+EC+BC=8+6=14cm又∵BC=6cm（已知）有垂直平分线，就有等腰三角形的产生进步的标志′驶向胜利的彼岸思考分析你能写出定理“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离相等”的逆命题吗?逆命题与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.它是真命题吗?ABP如果是.请你证明它.已知:如图,PA=PB.求证:点P在AB的垂直平分线上.分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB的中点,),然后证明另一个结论正确.想一想:若作出∠P的角平分线,结论是否也可以得证?驶向胜利的彼岸逆定理逆定理与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.∵PA=PB（已知）∴点P在线段AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）ABPMN1、如图PA=PB，则直线MN是线段AB的垂直平分线。ABMNP2、如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ABCM如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。PCBA（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？（1）求证：PA=PB=PC。证明:∵点P在AB的垂直平分线上∴PA=PB（线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等）同理，∵点P在BC的垂直平分线上∴PB=PC∴PA=PB=PC∵PA=PC∴点P在AC的垂直平分线上（与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）解:今天学习了线段的中垂线的性质、及逆定理，你能由此联想到前面学过的什么知识与此类似吗？角的平分线ODEABPC定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理2到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合线段的垂直平分线定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合ABMNP点的集合是一条射线点的集合是一条直线