三角形全等之倍长中线(含答案和练习)

1三角形全等之倍长中线1.如图，AD为△ABC的中线．（1）求证：AB+AC2AD．（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．3.如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．4.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．求证：∠AEF=∠EAF．5.如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF．求证：AD为△ABC的角平分线．GFEDCBADCBAEDCBAFEDCBAGFEDCBADCBA26.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的长．7.如图，在正方形ABCD的边CB的延长线上取一点E，△FEB为等腰直角三角形，∠FEB=90°，连接FD，取FD的中点G，连接EG，CG．求证：EG=CG且EG⊥CG．FEDCBAGFEDCBA3【参考答案】1.（1）证明：如图，21EBCDA延长AD至E，使DE=AD，连接BE，∴AE=2AD．∵AD是△ABC的中线∴BD=CD在△BDE和△CDA中12BDCDEDAD∴△BDE≌△CDA（SAS）∴BE=AC在△ABE中，AB+BEAE∴AB+AC2AD（2）解：由①可知AE=2AD，BE=AC在△ABE中，ABBEAEAB+BE∵AC=3，AB=5∴53AE5+3∴22AD8∴1AD442.证明：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE．4321ECDBA在△ADC和△EDB中34CDBDADED∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC=EB，∠2=∠E∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC3.证明：如图，54ECAFB31D2延长CD到F，使DF=CD，连接BF．∴CF=2CD∵CD是△ABC的中线∴BD=AD在△BDF和△ADC中521BDADDFDC∴△BDF≌△ADC（SAS）∴BF=AC，∠3=∠A∵CB是△AEC的中线∴BE=AB∵AC=AB∴BE=AC∴BE=BF∵∠CBE是△ABC的一个外角∴∠CBE=∠BCA+∠A=∠BCA+∠3∵AC=AB∴∠BCA=∠CBA∴∠CBE=∠CBA+∠3=∠CBF在△CBE和△CBF中CBCBCBECBFBEBF∴△CBE≌△CBF（SAS）∴CE=CF，∠4=∠5∴CE=2CDCB平分∠DCE4.证明：如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BM．MCDBEFA∵D是BC边的中点∴BD=CD在△ADC和△MDB中6CDBDADCMDBADMD∴△ADC≌△MDB（SAS）∴∠CAD=∠M，AC=MB∵BE=AC∴BE=MB∴∠M=∠BEM∴∠CAD=∠BEM∵∠AEF=∠BEM∴∠CAD=∠AEF即∠AEF=∠EAF5.证明：如图，延长FE到M，使EM=EF，连接BM．321MBGEDCAF∵点E是BC的中点∴BE=CE在△CFE和△BME中FEMECEFBEMCEBE∴△CFE≌△BME（SAS）∴CF=BM，∠F=∠M∵BG=CF∴BG=BM∴∠3=∠M∴∠3=∠F∵AD∥EF∴∠2=∠F，∠1=∠3∴∠1=∠2即AD为△ABC的角平分线．6.解：如图，延长AF交BC的延长线于点G．754321GABCDEF∵AD∥BC∴∠3=∠G∵点F是CD的中点∴DF=CF在△ADF和△GCF中312GDFCF∴△ADF≌△GCF（AAS）∴AD=CG∵AD=2.7∴CG=2.7∵AE=BE∴∠5=∠B∵AB⊥AF∴∠4+∠5=90°∠B+∠G=90°∴∠4=∠G∴EG=AE=5∴CE=EGCG=52.7=2.37.证明：如图，延长EG，交CD的延长线于M．MAFEBGCD由题意，∠FEB=90°，∠DCB=90°8∴∠DCB+∠FEB=180°∴EF∥CD∴∠FEG=∠M∵点G为FD中点∴FG=DG在△FGE和△DGM中FEGMFGEDGMFGDG∴△FGE≌△DGM（AAS）∴EF=MD，EG=MG∵△FEB是等腰直角三角形∴EF=EB∴BE=MD在正方形ABCD中，BC=CD∴BE+BC=MD+CD即EC=MC∴△ECM是等腰直角三角形∵EG=MG∴EG⊥CG，∠ECG=∠MCG=45°∴EG=CG全等三角形之倍长中线每日一题1.（4月21日）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点．求证：AE⊥BE．EDCBAFEDCBA92.（4月22日）已知：如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，垂足分别为A，D，连接EC，F为EC中点，连接AF，DF，猜测AF，DF的数量关系和位置关系，并说明理由．3.（4月23日）已知：如图，D为线段AB的中点，在AB上任取一点C（不与点A，B，D重合），分别以AC，BC为斜边在AB同侧作等腰Rt△ACE与等腰Rt△BCF，∠AEC=∠CFB=90°，连接DE，DF，EF．求证：△DEF为等腰直角三角形．4.（4月24日）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并说明理由．FEDCBAFEDCBA10【参考答案】1.证明：延长AE交BC的延长线于点F．FEDCBA∵AD∥BC∴∠D=∠DCF，∠DAE=∠F∵E是CD的中点∴DE=CE在△ADE和△FCE中∠∠DFCEDAEFDECE∴△ADE≌△FCE（AAS）∴AD=FC，AE=FE∵AB=AD+BC∴AB=CF+BC=BF在△ABE和△FBE中ABFBBEBEAEFE∴△ABE≌△FBE（SSS）11∴∠AEB=∠FEB=90°即AE⊥BE2.解：AF⊥DF，AF=DF，理由如下：延长DF交AC于点P.PFEDCBA∵BA⊥AC，ED⊥BD∴∠BAC=∠EDA=90°∴DE∥AC∴∠DEC=∠ECA∵F为EC中点∴EF=CF在△EDF和△CPF中DEFPCFEFCFEFDCFP∠∠∴△EDF≌△CPF（ASA）∴DE=CP，DF=PF∵△ABC与△BDE均为等腰直角三角形∴AB=AC，DE=BD∴ABBD=ACDE=ACCP即AD=AP在△DAF和△PAF中DFPFAFAFADAP∴△DAF≌△PAF（SSS）∴∠DFA=∠PFA=90°，∠DAF=∠PAF=45°12∴AF⊥DF，AF=DF3.证明：延长ED到点G，使DG=DE，连接BG，FG．GFEDCBA∵D为线段AB的中点∴AD=BD在△EDA和△GDB中∠∠EDGDEDAGDBDADB∴△EDA≌△GDB（SAS）∴EA=GB，∠A=∠GBD∵△ACE与△BCF是等腰直角三角形∴AE=CE=BG，CF=FB，∠A=∠ECA=∠FCB=∠FBC=45°∴∠ECF=90°，∠GBF=∠GBD+∠FBD=90°在△ECF和△GBF中ECGBECFGBFCFBF∠∠∴△ECF≌△GBF（SAS）∴EF=GF，∠EFC=∠GFB∵∠CFB=∠CFG+∠GFB=90°∴∠EFG=∠EFC+∠CFG=90°在△EFD和△GFD中EFGFFDFDEDGD∴△EFD≌△GFD（SSS）∴∠EDF=∠GDF=90°，∠EFD=∠GFD=45°∴DE=DF13∴△DEF为等腰直角三角形4.解：AB=AF+CF，理由如下：延长AE交DF的延长线于点G．GFEDCBA∵E为BC边的中点∴BE=CE∵AB∥DC∴∠B=∠BCG，∠BAG=∠G在△ABE和△GCE中∠∠∠∠BGCEBAEGBECE∴△ABE≌△GCE（AAS）∴AB=GC∵∠BAE=∠EAF∴∠G=∠EAF∴AF=GF∵GC=GF+FC∴AB=AF+CF三角形全等之倍长中线（随堂测试）1.在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是_______________．2.已知：如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥AB交AE于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC．14FECDBA【参考答案】1.3AB132.证明略（提示：延长AE到点G，使EG=EF，连接CG，证明△DEF≌△CEG）．三角形全等之倍长中线（作业）1.已知：如图，在△ABC中，AB=4，AC=2，点D为BC边的中点，且AD是整数，则AD=________．DCBA2.已知：如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB=EF．15FEDCBA3.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形．求证：EF=2AD．FEDCBA4.如图，在△ABC中，ABAC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．GFEDCBA165.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，连接AF，若∠DAF=∠EAF，求证：AF⊥EF．FEDBCA【参考答案】1.22.证明略（提示：延长FD到点G，使得DG=DF，连接AG，证明△ADG≌△EDF，转角证明AB=EF）3.证明略（提示：延长AD到点G，使得AD=GD，连接CG，证明△ABD≌△GCD，△EAF≌△GCA）4.证明略（提示：延长FE到点H，使得FE=EH，连接CH，证明△BFE≌△CHE，转角证明BF=CG）5.证明略（提示：延长AF交BC的延长线于点G，证明△ADF≌△GCF，转角证明AF⊥EF）