“球类”运动中的二次函数

“球类”运动中的二次函数数学和生活息息相关，数学就在你的身边.“新课程标准”要求学生初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，解决日常生活中与其他学科中遇到的数学问题，增强数学的应用意识.体育运动项目中的篮球、铅球、羽毛球、足球等是学生特别熟悉而又喜爱的运动方式，球类运动的曲线与我们学过的抛物线很投缘，其中涉及到不少的二次函数的相关知识，二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型，许多实际问题，可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型，从而利用二次函数的图像和性质加以解决．下面根据背景不同分情况探究如下.一、跳绳运动中的二次函数例1你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图1所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）（）A．1.5mB．1.625mC．1.66mD．1.67my分析：本题考查阅读理解、数据处理及建立二次函数模型的能力．由于绳子甩到最高处时的形状可近似地看为抛物线，因此，根据条件中的数据得到抛物线上3个点的坐标后，再利用一般式即可求出函数表达式；而求丁的身高，转化为数学问题就是求抛物线上横坐标为1.5时对应点的纵坐标．解：设函数表达式为y=Ax2+Bx+C，易知图像经过点（—1，1），（0，1.5），（3，1），可得A—B+C=1，A=—1/6，C=1.5，解得B=1/3，9A+3B+C=1．C=1.5．所以函数表达式为y=—61x2+31x+23．当x=1.5时，y=1.625．答案：B．二、以投掷“铅球”为背景渗透的二次函数问题例2、(济南)小明代表班级参加校运动会的铅球项目，他想：“怎样才能将铅球推得更远呢？”于是找来小刚作了如下探索：小明手持铅球在控制每次推出时用力相同的条件下，分4m2.5m1m1m1m乙x甲丁丙-202Cx5/3A8/3yB别沿与水平线成30°，45°，60°方向推了三次.铅球推出后沿抛物线形运动，如图，小明推铅球时的出手点距离地面2m，以铅球出手点所在竖直方向为y轴，以地平线为x轴建立直角坐标系，分别得到的有关数据如下表：推出铅球的方向与水平线的夹角30°45°40°铅球运行所得到的抛物线解析式y1=-0.06(x-3)2+2.5y2=___(x-4)2+3.6y1=-0.22(x-3)2+4故测铅球在最高点的坐标P1(3,2.5)P2(4,3.6)P3(3,4)铅球落点到小明站立处的水平距离9.5m________m7.3m(1)请你求出表格中两横线上的数据，写出计算过程，并将结果填入表格中的横线上；(2)请根据以上数据，对如何将铅球推得更远提出你的建议.分析：本题以“体育活动中铅球投掷的远近”为课题，为学生设置了一个探究的数学广场.试题设计起点较低，题目已将实际问题（建立了平面直角坐标系）抽象成了二次函数的数学模型，而且已有二次函数的解析式的雏形，只要用待定系数法且发现出手点（0，2）在抛物线上，问题便迎刃而解.至于求铅球落点到小明站立处的水平距离只需令所求抛物线的解析式中的y2=0，求得到抛物线与x轴交点的横坐标即可.（1）观察表格提供的信息有与水平成30°、60°的方向投掷铅球轨迹（抛物线）的解析式及铅球投掷的最高点和最远点的距离，让考生探究沿45°方向投掷时行走的轨迹（抛物线）的解析式及铅球投掷的最大水平距离.我们可设“推铅球的方向与水平线成45°”时形成的抛物线的解析式为y2=a(x-4)2+3.6又出手点（0，2）在抛物线上，故有16a+3.6=2，解之，得a=－0.1，欲求铅球落点到小明站立处的水平距离，即求当y2=0时与x轴交点的横坐标.因而有-0.1(x-4)2+3.6=0，解之得x1=-2，（舍去）x2=10，所以铅球落点到小明站立处的水平距离为10米.例3一男生在校运会的比赛中推铅球，铅球的行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系用如图2所示的二次函数图象表示．（铅球从A点被推出，实线部分表示铅球所经过的路线）⑴由已知图象上的三点，求y与x之间的函数关系式．⑵求出铅球被推出的距离．⑶若铅球到达的最大高度的位置为点B，落地点为C，求四边形OABC的面积．分析：本题考查从图象中获取信息能力．观察图象可得到抛物线上的三个点的坐标，从而求出函数表达式；在此基础上，利用二次函数与一元二次方程的关系可求出抛物线与x轴的交点坐标，得铅球被推出的距离；最后通过配方法将函数式化成顶点式，得到顶点坐标，用分割法求得四边形的面积．OyxP1P2P32解：⑴设y=Ax2+Bx+C，已知图象经过（—2，0），（0，35），（2，38）三点，由此可求得A=—121，B=32，C=35，所以y=—121x2+32x+35．⑵令y=0，即—121x2+32x+35=0，解得x1=10，x2=—2（不合题意，舍去）．所以铅球被推出的距离是10米．⑶作BD⊥OC，D为垂足．因为y=—121（x2—8x—20）=—121（x—4）2+3，所以B（4，3）；由⑵得C（10，0）．所以S四边形OABC=S梯形OABD+S△BDC=21×（35+3）×4+21×6×3=1831．三、篮球比赛中的二次函数例4某学校初三年级的一场篮球比赛中，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高920米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．⑴建立如图2的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？⑵此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？（3）若该队员身高1.7米，球出手时距头顶0.3米，那么他需要跳起多高才能投中？（结果保留一位有效数字）分析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点（顶点）、和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x=1时函数y的值与最大摸高3.1米的大小．解：⑴由条件可得到球出手点、最高点、和篮圈的坐标分别为A（0，920），B（4，4），C（7，3），其中B是抛物线的顶点．设二次函数解析式为y=A（x—h）2+k，将点A、B的坐标代入，可得y=—91（x—4）2+4．将点C的坐标代入上式，得左边=右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中．⑵将x=1代入函数式，得y=3．因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．Oyx3m3m4m4m四．铅球与二次函数例5某同学推铅球时，铅球行进的路线是抛物线．已知铅球出手时距离地面的高度是1.4米，铅球行进1.5米后到达最高点，此时距离地面2米，问铅球从出手到落地行进的距离是多少米?（结果保留根号）解：依题意，铅球行进的路线是如图3所示的抛物线A-B-C这一部分(A为铅球出手时位置，B为铅球行进中的最高点，C为铅球落地时的位置)．以地面为x轴，过点A垂直于x轴的直线为y轴建立直角坐标系，则抛物线经过点A(0，1.4)，顶点为(1.5，2)，其解析式为y=a(x-1.5)2+2．把x=0，y=1.4代入得，1.4=2.2a+2．解得a=-415．故y=-415(x-1.5)2+2．由y=0，得x=1.5±302．所以C(1.5+302，0)．OC=1.5+302≈4.2(米)．2、（07年连云港市）丁丁推铅球的出手高度为1.6m，铅球飞行的线路符合抛物线20.1()2.5yxk，在如图所示的直角坐标系中，求铅球的落点与丁丁的距离．解：由题意知，点(016)，在抛物线20.1()2.5yxk上，所以21.60.1(0)2.5k．解这个方程，得3k或3k（舍去）．所以，该抛物线的解析式为20.1(3)2.5yx．当0y时，有20.1(3)2.50x，解得18x，22x（舍去）．所以，铅球的落点与丁丁的距离为8m．五、以“足球”为背景二次函数应用问题例6、（08吉林省长春市、新疆建设兵团）如图，足球场上守门员在O处开一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B出发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面4米高，球落地后又一次弹起.据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减y图30ABCy(米)x(米)OB2C14AMDＯyx?（第2题图）1.6m少到原来最大高度的一半.(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；(2)足球第一次落地点C距守门员多少米？（取34=7）(3)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取62=5）分析：（1）由题意知足球开始飞出到第一次落地抛物线顶点坐标为（6，4），故可设相应抛物线的解析式为y=a(x－6)2+4，又开出点A（0，1）在抛物线上，故有36a+4=1，解之，得a=－121，故抛物线的解析式为y=－121x2+x+1，（2）欲求足球落地点到守门员C的水平距离，即求当y=0时与x轴交点的横坐标.因而有－121x2+x+1=0，解之得x1=6－43，（舍去）x2=6+43，所以足球第一次落地点C距守门员6+43≈13米.（3）因为足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，故可设抛物线的解析式为y=－121(x－k)2+2又点（6+43，0）在抛物线上，所以k=6+43+26，根据抛物线的对称性，运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑CD=2×（6+43+26－6－43）=46≈10米.例7为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员距离门12米处挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁，若足球运动的路线是抛物线y=ax2+bx+c，如图所示，则下列结论⑴a＜-160；⑵-160＜a＜0；⑶a-b+c＞0；⑷0＜b＜-12a，其中正确的是()A．⑴⑶B．⑴⑷C．⑵⑶D．⑵⑷解：把点(0，2.4)、(12，0)代入解析式得c=2.4，b=-12a-0.2．故b＜-12a．又抛物线开口向下，故a＜0．且对称轴x=-2ba＞0，故b＞0．即0＜b＜-12a，因此⑷正确．又因144a+12b=-2.4且b＞0，故144a＜-2.4．因此a＜-160，因此⑴正确．因此，应选B．六、以“羽毛球”为背景二次函数应用问题例8、（山西省）甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一枚十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的xyo2.412h(米)s(米)OABCDP水平距离s(米)与其地面高度h(米)之间的关系式为h=2121s+s32+23如图，已知球网AB距原点5米，乙(用线段CD表示)扣球的最大高度为49米，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙球扣球的最大高度而导致接球失误，则m的取值范围是_____.分析：此题是以“羽毛球”为载体创设的二次函数的应用问题，本题已告诉了羽毛球飞行的水平距离s(米)与其地面高度h(米)之间的关系式为h=2121s+s32+23，我们不妨先求出当乙扣球的最大高度为49米刚刚触及羽毛球时，乙对应的横坐标值.列方程得2121m+m32+23=49，解得m1=74，m2=74，根据二次函数h=2121m+m32+23在对称轴m=4的右侧h随m得增大而减小，又“球的高度高于乙球扣球的最大高度”所以m74，另一方面乙站在球网的右则因而m5故m的取值范围为5m74点评：数学和生活息息相关，数学就在你的身边，数学与日常生活、自然、社会、和科学技术有着密切的联系，数学在现实生活中有着广泛的应用，就连大家平时喜爱的体育运动都蕴含着许多数学道理．练习1.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是经过原点O的一条抛物线。在跳某规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面32/3米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在