二次函数在闭区间的最值问题-2

第1页（共7页）---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------闭区间上二次函数的最值问题一.定二次函数在定区间上的最值二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例1.函数yxx242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。解：函数yxxx224222()是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为f()22，最小值为f()02。图1例2.已知232xx，求函数fxxx()21的最值。解：由已知232xx，可得032x，即函数fx()是定义在区间032，上的二次函数。将二次函数配方得fxx()12342，其对称轴方程x12，顶点坐标1234，，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间032，内，如图2所示。函数fx()的最小值为f()01，最大值为f32194。图2第2页（共7页）---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------解后反思：已知二次函数fxaxbxc()2（不妨设a0），它的图象是顶点为baacba2442，、对称轴为xba2、开口向上的抛物线。由数形结合可得在[m，n]上fx()的最大值或最小值：（1）当bamn2，时，fx()的最小值是fbaacbafx2442，()的最大值是fmfn()()、中的较大者。（2）当bamn2，时若bam2，由fx()在mn，上是增函数则fx()的最小值是fm()，最大值是fn()若nba2，由fx()在mn，上是减函数则fx()的最大值是fm()，最小值是fn()二.动二次函数在定区间上的最值二次函数随着参数a的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例3.已知x21，且a20，求函数fxxax()23的最值。解：由已知有112xa，，于是函数fx()是定义在区间11，上的二次函数，将fx()配方得：fxxaa()23422二次函数fx()的对称轴方程是xa2顶点坐标为aa2342，，图象开口向上由a2可得xa21，显然其顶点横坐标在区间11，的左侧或左端点上。第3页（共7页）---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------函数的最小值是fa()14，最大值是fa()14。图3例4.已知二次函数fxaxaxa()2241在区间41，上的最大值为5，求实数a的值。解：将二次函数配方得fxaxaa()()24122，其对称轴方程为x2，顶点坐标为()2412，aa，图象开口方向由a决定。很明显，其顶点横坐标在区间41，上。若a0，函数图象开口向下，如图4所示，当x2时，函数取得最大值5即faa()24152解得a210故aa210210()舍去图4若a0时，函数图象开口向上，如图5所示，当x1时，函数取得最大值5即faa()15152解得aa16或故aa16()舍去第4页（共7页）---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------图5综上讨论，函数fx()在区间41，上取得最大值5时，aa2101或解后反思：例3中，二次函数的对称轴是随参数a变化的，但图象开口方向是固定的；例4中，二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数a变化的。三.定二次函数在动区间上的最值二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数t而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例5.如果函数fxx()()112定义在区间tt，1上，求fx()的最小值。解：函数fxx()()112，其对称轴方程为x1，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。如图6所示，若顶点横坐标在区间tt，1左侧时，有1t。当xt时，函数取得最小值fxftt()()()min112。图6如图7所示，若顶点横坐标在区间tt，1上时，有tt11，即01t。当x1时，函数取得最小值：fxf()()min11。图7如图8所示，若顶点横坐标在区间tt，1右侧时，有t11，即t0。当xt1时，函数取得最小值第5页（共7页）---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------fxftt()()min112综上讨论，fxttttt()(),,min1111011022图8例6.设函数fxxx()244的定义域为tt21，，对任意tR，求函数fx()的最小值()t的解析式。解：将二次函数配方得：fxxxx()()224428其对称轴方程为x2，顶点坐标为()28，，图象开口向上若顶点横坐标在区间tt21，左侧，则22t，即t4。当xt2时，函数取得最小值：ftttt()()2488822若顶点横坐标在区间tt21，上，则tt221，即34t。当x2时，函数取得最小值：f()28若顶点横坐标在区间tt21，右侧，则t12，即t3。当xt1时，函数取得最小值：ftttt()()1386122综上讨论，得()()()()tttttttt22884834613四.动二次函数在动区间上的最值二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。第6页（共7页）---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------例7.已知yaxaa240()()，且当xa时，Sxy()322的最小值为4，求参数a的值。解：将yaxa24()代入S中，得Sxaxaxaxaxaaa()()()()34232943212822222则S是x的二次函数，其定义域为xa，，对称轴方程为xa32，顶点坐标为()321282aaa，，图象开口向上。若32aa，即01a，则当xa32时，Saa最小12842，此时，a1，或a12若32aa，即a1，则当xa时，Saaaa最小()32128422此时，a5，或a1（因aa11，舍去）综上讨论，参变数a的取值为a1，或a12，或a5例8.已知()()xyaa140222，且当xa12时，Pxy()422的最小值为1，求参变数a的值。解：将yxa22214()代入P中，得Pxxaxa()()41454175952222则P是x的二次函数，其定义域为xa12，，对称轴方程为x175，顶点坐标为175952，a，图象开口向上。若17512a，即a65第7页（共7页）---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------则当x175时，Pa最小9512，此时，a25若17512a，即a65，则当xa12时，Paa最小54121759512此时，a2，或a1（因aa651，舍去）综上讨论，aa252，或解后反思：例7中，二次函数的对称轴是变化的；例8中，二次函数的对称轴是固定的。另外，若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法。二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍。