(公开课)二次函数之面积最值问题

二次函数与面积问题板桥初中陈金国专题研究课如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设宽AB为x米，面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ABCD解：(1)∵AB为x米、篱笆长为24米∴BC为（24－4x）米(2)当x＝时，S最大值＝＝36（平方米）32ababac442∴S＝x（24－4x）（0x6）热身运动＝－4x2＋24x问题探究一：如图：在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设宽AB为x米，面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。ABCD解：(1)∵AB为x米、篱笆长为24米∴BC为（24－4x）米(3)∵墙的可用长度为8米(2)当x＝时，S最大值＝＝36（平方米）32ababac442∴S＝x（24－4x）∴024－4x≤84≤x6∴当x＝4米时，S最大值＝32平方米＝－4x2＋24x（0x6）问题探究二：如图，在△ABC中∠B=90º，AB=12cm，BC=24cm，动点P从A开始沿AB边以2cm/s的速度向B运动，动点Q从B开始沿BC边以4cm/s的速度向C运动，如果P、Q分别从A、B同时出发。（1）写出△PBQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）当t为何值时，△PBQ的面积S最大值是多少？QPCBA∵BP=12-2t，∴S=1/2(12-2t)•4t解：BQ=4t（0t6）（2）当t=3时，S最大值=36思考：以此题为背景，你能设计其它与面积有关的问题吗？即S=-4t²+24t=-4(t-3)²+36如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).(1)直接写出A、B两点的坐标；（2)设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0t6)，试求S与t的函数表达式；(3)在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？OABCxyMNMNMN反馈练习探究问题三：抛物线上的面积问题已知二次函数y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C.(1)直接写出点A、B、C及顶点P的坐标（2）求四边形ACPB的面积。xABOCy.M.P（3）设M（a，b）（其中0a3）是抛物线上的一个动点，试求△MCB面积的最大值，及此时点M的坐标。已知二次函数与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C.y=x2-2x-3xABOCyP.ND思考：（5）在抛物线上（除点P外），是否存在点Q，使得S△QBC=S△PBC，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由（4）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由。S△NAB=2S△ABC，S△NAB=S△ABC，.N3.N2.Q本课小结•（1）从图形面积问题到二次函数•（2）在二次函数图像中探讨面积问题本课寄语：用务实，求真的思想格物探理，用灵动的思维去探索身边看似变化，却有规可循的事件。课外作业．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝1．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；yxBDOAEC（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．A（－1，0），B（3，0），C（0，－4）．438342xxy)40(2)2(212mmS当m＝2时，S有最大值2D点坐标为（1，0）