§4.12-拉普拉斯变换与傅氏变换的关系

§4.13拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系北京邮电大学电子工程学院陈智娇第2页BUPT尹霄丽,,,,etft我们在引出拉氏变换时是针对不满足绝对可积条件对其乘以一个衰减因子作傅氏变换演变为拉氏变换()()e()jσtLftFftutFssσω引言第3页BUPT尹霄丽傅氏变换与拉氏变换的关系tωσsj双边拉氏变换tωsj傅氏变换tωσs0j单边拉氏变换0)(0tft当0σe(j)σtLftFftutsσω对于单边信号，加衰减函数：第4页BUPT尹霄丽一．Oσωjα平面右半边收敛边界落于时当,00sσ)0()(e)(αtutftααssF1:其拉氏变换。求不存在，不能由)()()(ωFsFωF:ασ收敛域Ottutαe第5页BUPT尹霄丽二．OσωjαOttutαe平面左半边收敛边界落于时当sσ,00)0()(eαtutftα衰减函数，傅氏变换存在:1sαsFj1)(jωαωFασ:收敛域ωssFωFj)(j第6页BUPT尹霄丽三．收敛边界位于虚轴时当,00σ异函数项。因为傅氏变换中包括奇关系之间不再是简单的置换与是存在的，,sFωFsFtutf，1ssFj1)(π)(jF例如：当初求阶跃函数的傅氏变换，不是用经典法(定义式)，而是用取极限的方法（矩形脉冲的周期为无穷大）引入了冲激函数而得到的。?jωFsF求那么如何由第7页BUPT尹霄丽)(j,j)()]([为极点nnnnωωsksFtfL)(π|)()]([jnnωsωωδksFtfF：，将其展开成部分分式出发由sF对于只有一阶极点的情况，极点位于虚轴j?FsFω如何由求ssFj代中以.π,,jksn而冲激函数之强度为点相对应每个冲激函数与每个极处每个一阶极点位于激之和：一系列冲（4-162）则第8页BUPT尹霄丽证明：根据变换的惟一性nnnωsksFj)(jje()nωtnnuFωFkt线性，卷积定理211π()2πjπ()nnnδωkωωωδnnnnnnωωδkωωk)(π)j(1nnnωsωωδksF)(π|)(j)(j)()(ωFtfsFj(e))(nωtnnuftktj(12π)enωntnkFFut第9页BUPT尹霄丽例4-12-1，)0(,1)]([stuLj)(FsF求由111()1j0KFssss)(π|1)(j1jnsKsF)(πj1)(π1j1第10页BUPT尹霄丽)()()1(FsF由单边拉氏变换)0(,)(02020σωsωsF0201jj)(ωsKωsKsF,2j|j0j001ωsωsωKnnnωsωωδKsFωF)(π|)()(j)(2j)(2jπ002200ωωδωωδωωω)()(2πj002200ωωδωωδωωω2j*12KK例4-12-2)(sin)(0ttuωtf第11页BUPT尹霄丽)(2ωF）利用卷积定理求（)(sin)(0ttuωFωF)(πj)(πjπ2100ωωδωωδ)()(2πj00ωωδωωδ)()(2πj002200ωωδωωδωωω卷积定理ωωωδωωωδ1)(1)(2100ωωδj1)(π)(sin210tuFtωF两种方法结果相同。第12页BUPT尹霄丽四．总结对于有起因信号，单边拉氏变换的收敛域在收敛轴右边。将F(s)分解因式，找出极点。收敛域中不应有极点，最右边的极点在收敛轴上。:)(j的关系和ωFsFjjsωnnnFωFskδωωj00,,jsωσsFωFs收敛轴位于平面的左半平面则00,,jσsFω收敛轴位于平面的右半平面则不存在00,σ收敛轴位于虚轴,则