6-1拉普拉斯变换解析

第六章拉普拉斯变换拉普拉斯变换理论(又称为运算微积分，或称为算子微积分)是在19世纪末发展起来的。首先是英国工程师亥维赛德(O.Heaviside)发明了用运算法解决当时电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严密的数学论证。后来由法国数学家拉普拉斯(P.S.Laplace)给出了严密的数学定义，称之为拉普拉斯变换方法。拉普拉斯(Laplace)变换在电学、光学、力学等工程技术与科学领域中有着广泛的应用。由于它对原函数f(x)的条件比傅里叶变换的条件要弱，因此在某些问题上，它比傅里叶变换的适用面要广。本部分首先从傅里叶变换的定义出发，导出拉普拉斯变换的定义，并研究它的一些基本性质，然后给出其逆变换的积分表达式——反演积分公式，并得出原函数的求法，最后介绍拉普拉斯变换的应用。§6.1拉普拉斯变换本节介绍拉普拉斯变换的定义、常用函数的拉普拉斯拉斯变换的性质。一、拉普拉斯变换的定义傅里叶变换要求进行变换的函数在无穷区间(-∞，∞)有定义，在任一有限区间上满足狄里希利条件，并要求存在。这是一个比较苛刻的要求，一些常用的函数，如阶跃函数H(t)，以及t，sint，cost等均不满足这些要求。另外在物理、线性控制等实际应用中，许多以时间为自变量的dttf|)(|函数，往往当t0时没有意义，或者不需要知道t0时的情况。而傅里叶变换要求的函数条件比较强，这就限制了傅里叶变换应用的范围。为了解决上述问题拓宽应用范围，人们发现，对于任意一个实函数，可以经过适当的改造以满足傅氏变换的基本条件。首先将函数乘以单位阶跃函数得到，则根据傅氏变换理论有)(t)(t0100)(tttH)()()(tHttf0)(21)()(21)]()([)]([dtetfdtetHttHttftitiFF很显然通过这样的处理，当t0时，在没有定义的情况下问题得到了解决。但是仍然不能回避f(t)在[0，+∞)上绝对可积的限制。为此，我们考虑到当t→+∞时，衰减速度很快的函数，那就是指数函数F)(t)0(te)()()()(])([200)(0ipdtetfdtetfdteetfetfpttititt上式可简写为①这是由实函数f(t)通过一种新的变换得到的复变函数，这种变换就是我们要定义的拉普拉斯变换。定义：设实函数f(t)在t≥0上有定义，且积分(p为复参变量)对复平面上某一范围p收敛，则由这个积分所确定的函数称为函数f(t)的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，记为L称为像函数，f(t)为原函数0)()(dtetfpfpt0)()(dtetfpfpt)(pf)]([)(tfpf说明：有的书籍记：L，即F(p)为函数f(t)的拉氏变换。综合傅氏变换和拉氏变换可见，傅氏变换的像函数是一个实自变量为ω的复值函数，而拉氏变换的像函数则是一个复变数p的复值函数，由①式可以看出，f(t)(t≥0)的拉氏变换实际上就是的傅氏变换(其中H(t)为单位阶跃函数)因此拉氏变换实质上就是一种单边的广义傅氏变换，单边是指积分区间从0到+∞，广义是指函数f(t)要乘上之后再作傅氏变换。)]([)(tfpF)0()()(tetHtf)0()(tetH二、拉普拉斯逆变换实际f(t)的拉氏变换，就是的傅氏变换，因此，当满足傅氏积分定理的条件时，根据傅里叶积分公式，f(t)在连续点处有tetHtf)()()0()()(tetHtf)0()(21)(21)(21)()(21)()(0)(0tipdepfdedtetfdedteetfdedteetHtfetHtftititititittititt，等式两端同乘eσt，并注意到这个因子与积分变量ω无关所以，当t0时有拉普拉斯逆变换式黎曼－梅林反演公式记为L)0()(21)(21)()(tipdpepfidepftfiiptti，)]([)(1pftf正变换逆变换为一组互逆的拉氏积分变换公式，e-pt为变换核，简写为L≓L≒三、拉氏变换的存在定理若函数f(t)满足下述条件：(1)当t0时，f(t)=0，t≥0时，f(t)在任一有限区间上分段连续；0)()(dtetfpfpt)0()(21)(tdpepfitfiipt)()()]([)(1pftfpftf)()()]([)(tfpftfpf(2)当t→∞时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数M0及σ0≥0，使得则存在且解析，其中Rep=σσ0，σ0称为收敛横标。例1：求单位阶跃函数的拉氏变换解：由拉氏变换的定义L)(0|)(|0tMetft0)()(dtetfpfpt0100)(tttH001)]([ptptepdtetH设p=σ+iω，|e-pt|=|e-(σ+iω)t|=|e-σt|则当且仅当Rep=σ0时，所以：L或：例2：求拉氏变换L[1]。解：同例1在Rep0即σ0的半平面，L例3：求拉氏变换L[t]。解：在Rep0的半平面，0limptte)0(Re1)]([pptH0Re011000pMeettpdtept11]1[020000111)(1][pdteptepetdpdtettptptptptLL推论：L3030020020020202222221)2(1)(1][pepdtetepdttepetpdtteetpedtpdtettptptptptptptptptpt1!][nnpnt例4求拉氏变换L，s为常数。解：在RepRes的半个平面∴L例5求拉氏变换L，s为常数。解：在RepRes的半个平面][stespespdtedteetsptspptst110)(0)(0)Re(Re1][spspest][stte0)(0][1tspptstetdspdtete20)(0)()(1][1spdtetesptsptsp∴L同理L例6：若f(t)=ceat(c为复数)，求拉氏变换L[f(t)]解：L)Re(Re)(1][2spsptest1)(!][nstnspnet)Re(Re][0)(0apapcapcedtececetapptatat例：求L[tf(t)]，f(t)是存在拉普拉斯变换的任意函数。解：两端对p求导即≒类推：≒0)()(dtetfpfpt00)()()1()()()(dtettfdppfddttftedppfdptptdppfdttf)()1()()()1()(pfdpdtftnnnn四、拉氏变换的性质在实际应用拉氏变换中我们总结出一些规律，即拉氏变换的一些基本性质。通过这些性质使得许多复杂计算简单化。约定需要拉氏变换的函数，均满足拉氏变换存在定理的条件。1、线性定理：设c1、c2为任意常数≒例8：若f(t)=sinωt或cosωt(ω为实数)，求拉氏变换L[f(t)]。)()()()(22112211pfcpfctfctfc解：L同理L)0(Re1121][21sin][sin220)()(0ppipipidteeidtetttiptippt)0(Re][cos22pppt例：求函数f(t)=cos3t+6e-3t的拉氏变换。解：L[f(t)]=L[cos3t]+6L[e-3t]例2：求函数的拉氏逆变换。解：因为LLL36322ppp)00())((1)(bababpappF，，bpabapbabpappF1111))((1)()(11111)]([111btatbtateebaabebaebpabapbapF2、导数定理：≒推广：≒特殊情况：当时，有≒3、积分定理：≒L对原函数积分一次，相当于对像函数除以p。4、相似性定理：≒)0()()(fpfptf)0()0(...)0()0()()()1()2(21)(nnnnnnfpffpfppfptf0)0(...)0()0()1(nfff)()()(pfptfnn)]([1)(0tpdt)0()(1)(aapfaatf证明：≒5、位移定理：≒λ为复常数6、延迟定理：≒)0()(1)()(1)()(1)()(000aapfadefaatdeatfadteatfatfapatappt)()(pftfet)()(00pfettfpt7、卷积定理：若≒，≒，则≒其中称为f1(t)与f2(t)的卷积。例5求L解：令f(t)=t，则由F(p)=L[f(t)]=L[t]得L[t]=利用位移定理≒L)()(11pftf)()(22pftf)()()()(2121pfpftftftdtfftftf02121)()()()(][tte)(12pFp)()(pftfet2)(1)(][ppFtet例：求L[shat]和L[chat]。解：L[shat]=LL[chat]=L例：（P95习题）(2)令221121]2[apaapapeeatat221121]2[appapapeeatat)(21cos)(tititteeetet22)()(1)(121)(ppipipt≒LL作业：P95（2），（4）spest1][22][cosppt