弹性力学基础(程尧舜-同济大学出版社)课后习题解答

1图2.4o'zzy'y'xxθθ习题解答第二章2.1计算：(1)piiqqjjkδδδδ，(2)pqiijkjkeeA，(3)ijpklpkiljeeBB。解：(1)piiqqjjkpqqjjkpjjkpkδδδδδδδδδδ===;(2)()pqiijkjkpjqkpkqjjkpqqpeeAAAAδδδδ=−=−;(3)()ijpklpkiljikjliljkkiljiijjjiijeeBBBBBBBBδδδδ=−=−。2.2证明：若ijjiaa=，则0ijkjkea=。证：20ijkjkjkjkikjkjijkjkijkkjijkjkijkjkieaeaeaeaeaeaea==−=−=+。2.3设a、b和c是三个矢量，试证明：2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅aaabacbabbbcabccacbcc证：1231112123222123333[,,]iiiiiiiiiiiiiiiiiiaaabacaaaabcbabbbcbbbabccacbcccccabc⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==aaabacbabbbcabccacbcc。2.4设a、b、c和d是四个矢量，证明：()()()()()()×⋅×=⋅⋅−⋅⋅abcdacbdadbc证：()()ijijkklmlmnnijlmijklmkabecdeabcdee×⋅×=⋅=abcdee()()()()()ijlmiljmimjliijjiijjabcdacbdadbcδδδδ=−=−()()()()=⋅⋅−⋅⋅acbdadbc。2.5设有矢量iiu=ue。原坐标系绕z轴转动θ角度，得到新坐标系，如图2.4所示。试求矢量u在新坐标系中的分量。解：11cosβθ′=，12sinβθ′=，130β′=，21sinβθ′=−，22cosβθ′=，230β′=，310β′=，320β′=，331β′=。1112cossiniiuuuuβθθ′′==+，2212sincosiiuuuuβθθ′′==−+，333iiuuuβ′′==。2.6设有二阶张量ijijT=⊗Tee。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量T在新坐标系中的分量11T′′、12T′′、13T′′和33T′′。解：变换系数同上题。21122112212211111cos2sin2222ijijTTTTTTTTββθθ′′′′+−+==++，12211221221112cos2sin2222TTTTTTTθθ′′−+−=++，131323cossinTTTθθ′′=+，3333TT′′=。2.7设有3n个数12niiiA⋅⋅⋅，对任意m阶张量12mjjjB⋅⋅⋅，定义12121212nmnmiiijjjiiijjjCAB⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=若1212nmiiijjjC⋅⋅⋅⋅⋅⋅为nm+阶张量，试证明12niiiA⋅⋅⋅是n阶张量。证：为书写简单起见，取2n=，2m=，则ijklijklCAB=，在新坐标系中，有ijklijklCAB′′′′′′′′=(a)因为ijklC和klB是张量，所以有ijkliijjkkllijkliijjijkkllkliijjijklCCABABββββββββββ′′′′′′′′′′′′′′′′===比较上式和式(a)，得()0ijiijjijklAABββ′′′′′′−=由于B是任意张量，故上式成立的充要条件是ijiijjijAAββ′′′′=即ijA是张量。2.8设A为二阶张量，试证明tr⋅=⋅IAA。证：=()()===trjkjkjkijikjkijikiiiiAAAAδδ⋅=⊗⊗⋅⋅⋅⋅⋅IAAeeeeeeee。2.9设a为矢量，A为二阶张量，试证明：(1)()TT×=−×aAAa，(2)()TT×=−×AaaA证：(1)()()()TTTTjiijkkjiikjknnAaAae−×=−⊗×=−⊗Aaeeeee()TjikjkninjnkjkiinAaeAae=−⊗=−⊗eeeekkjnjnaA=×⊗=×aAeee。(2)()()()TTTTiikjjkkjiijnnkaAAae−×=−×⊗=−⊗aAeeeee()njiijknknjnijikkAaeAae=−⊗=⊗eeeenjnjiiAa=⊗×=×Aaeee32.10已知张量T具有矩阵123[]456789=T求T的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。解：T的对称部分具有矩阵1351([][])3572579T+=TT，T的反对称部分具有矩阵0121([][])1012210T−−−=−TT。和反对称部分对应的轴向矢量为1232=−+ωeee。2.11已知二阶张量T的矩阵为310[]130001−=−T求T的特征值和特征矢量。解：2310130(1)[(3)1]0001λλλλλ−−−−=−−−=−由上式解得三个特征值为14λ=，22λ=，31λ=。将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45)，可以求出三个特征矢量为1121)2=−a(ee，121()2=ae+e，33=ae。2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：αβ=+⊗AImm，=⊗+⊗Bmnnm其中，α和β是实数，m和n是两个相互垂直的单位矢量。解：因为()()αβαβ⋅=+⊗⋅=+AmImmmm，所以m是A的特征矢量，αβ+是和其对应的特征值。设a是和m垂直的任意单位矢量，则有()αβα⋅=+⊗⋅=AaImmaa4所以和m垂直的任意单位矢量都是A的特征矢量，相应的特征值为α，显然α是特征方程的重根。令21()2=−mne，31()2=+mne，123×e=ee则有232()2=me+e，232()2=−ne+e上面定义的ie是相互垂直的单位矢量。张量B可以表示成1122330=⊗−⊗⊗Beeee+ee所以，三个特征值是1、0和－1，对应的特征矢量是3e、1e和2e。2.13设a和b是矢量，证明：(1)2()()∇×∇×=∇∇⋅−∇aaa(2)()()()()()∇××=⋅∇−⋅∇+∇⋅−∇⋅abbaababba证：(1)这一等式的证明过程和书中证明式(2.14)的过程相同，在此略。(2)()()()jjkkjkjkmmiiiiababexx∂∂∂∂∇××=××=×abeeeee,,,,()()()jikjkijkmimnnjikjkijnkijiknnababeeababδδδδ=+=+−ee,,,,jiijjiijjjkkikikabababab=+−−eeee()()()()=⋅∇−⋅∇+∇⋅−∇⋅baababba2.14设2321232xyzxzxz=−+aeee，求1()2=∇−∇waa及其轴向矢量。解：12()=∇−∇waa23223211213212[(2)()(2)xzzxyzzxz=+⊗+−⊗−+⊗eeeeee22222331326()6]xzzxyxz−⊗+−⊗+⊗eeeeee由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量222321112322[6()(2)]xzxyzzxz=∇×=+−−+ωaeee。2.15设S是一闭曲面，r是从原点O到任意一点的矢径，试证明：(1)若原点O在S的外面，积分30SdSr⋅=∫nr；(2)若原点O在S的内部，积分34SdSrπ⋅=∫nr。证：(1)当0r≠时，有533()()0iixrxr∂∇⋅==∂r(b)因为原点在S的外面，上式在S所围的区域V中处处成立，所以由高斯公式得33()0SVdSdvrr⋅=∇⋅=∫∫nrr。(2)因为原点在S的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为a的球面S′完全在S的内部。用V表示由S和S′所围的区域，在V中式(b)成立，所以3333()0SSSSVdSdSdSdVrrrr′′+⋅⋅⋅=+=∇⋅=∫∫∫∫nrnrnrr即33SSdSdSrr′⋅⋅=−∫∫nrnr在S′上，ra=，/a=−nr，于是3322114SSSSdSdSdSdSrraaπ′′′⋅⋅=−===∫∫∫∫nrnr。2.16设123(2)yxxzxy=+−−feee，试计算积分()SdS∇×⋅∫fn。式中S是球面2222xyza++=在xy平面的上面部分.解：用c表示圆222xya+=，即球面2222xyza++=和xy平面的交线。由Stokes公式得()0SccdSdydxxdy∇×⋅=⋅=+=∫∫∫fnfr。第三章3.1设r是矢径、u是位移，=+rru。求ddrr，并证明：当,1iju时，ddrr是一个可逆的二阶张量。解：dddddd=+=+∇rruIurrrdd=+∇rIur的行列式就是书中的式(3.2)，当,1iju时，这一行列式大于零，所以ddrr可逆。3.2设位移场为=⋅uAr，这里的A是二阶常张量，即A和r无关。求应变张量ε、反对称张量()/2=∇−∇Ωuu及其轴向矢量ω。6解：∇=uA，1()2T=+εAA，1()2T=−ΩAA，1122ijkjklliAxx∂∂=∇×=×⊗⋅ωueeee111222jkijmmkilljkijmmkijiijmmAeAeAeδδ=⊗==⋅eeeee3.3设位移场为=⋅uAr，这里的A是二阶常张量，且,1iju。请证明：(1)变形前的直线在变形后仍为直线；(2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面；(3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。证：(1)方向和矢量a相同且过矢径为0r的点的直线方程可以写成0t=+rar(1)其中t是可变的参数。变形后的矢径为()=+=+⋅=+⋅rrurArIAr(2)用+IA点积式(1)的两边，并利用式(2),得0()()t=+++⋅⋅rIAaIAr上式也是直线方程，所表示的直线和矢量()+⋅IAa平行，过矢径为0()+⋅IAr的点。所以变形前的直线变形后仍然是直线。(2)因为,1iju，所以+IA可逆。记1()−=+BIA，则1()−=+=⋅⋅rIArBr(3)变形前任意一个平面的方程可以表示成c⋅=ar(4)其中a是和平面垂直的一个常矢量，c是常数。将式(3)代入式(4)，得()c⋅⋅=aBr(5)上式表示的是和矢量⋅aB垂直的平面。所以变形前的平面在变形后仍然是平面。(3)变形前两个平行的平面可以表示成1c⋅=ar，2c⋅=ar变形后变成1()c⋅⋅=aBr，2()c⋅⋅=aBr仍是两个平行的平面。3.4在某点附近，若能确定任意微线段的长度变化，试问是否能确定任意两条微线段之间夹角的变化；反之，若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化，试问能否确定任意微线段的长度变化。答案：能；能。3.5设位移场为=⋅uAr，其中A是二阶常张量，n和m是两个单位矢量，它们之间的夹角为θ。求变形后θ的减小量。解：n和m方向的正应变分别为7nε=⋅⋅nεn，mε=⋅⋅mεm用nε和mε代替式(3.11)中的1ε和2ε，经整理，得θ的减小量θ∆为2ctg()sinθθθ∆=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅nεmnεnmεm又()/2T=+εAA，所以1()ctg()sinTθθθ∆=⋅+⋅−⋅⋅+⋅⋅nAAmnAnmAm。3.6设n和m是两个单位矢量，ddr=rn和rδδ=rm是两个微小的矢量，变形前它们所张的平行四边形面积为Adδ=×rr，试用应变张量把变形时它的面积变化率/AA∆表示出来，其中A∆是面积变形前后的改变量。解：变形后，dr和δr变成dddd=+⋅+×rrεrωr，δδδδ=+⋅+×rrεrωr对上面两式进行叉积，并略去高阶小量，得ddddδδδεδ×=×+⋅×+×⋅rrrrrεrrr对上式两边进行自身点积，略去高阶小量，得()()ddδδ×⋅×rrrr()()2()()2()()ddddddδδδδεδδ=×⋅×+⋅×⋅×+×⋅⋅×rrrrrεrrrrrrr(a)注意到22()()()2()ddAAAAAδδ×⋅×=+∆≈+∆rrrr2()()ddAδδ×⋅×=rrrr所以，从式(a)可得()()()()()()ddddAAddδδδδδδ⋅×⋅×+×⋅⋅×