高等代数试卷及答案--(一)

一、填空题（共10题，每题2分，共20分）。1．多项式可整除任意多项式。2．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个条件。3．在n阶行列式D中，0的个数多于个是0D。4．若A是n阶方阵，且秩1An，则秩A。5．实数域上不可约多项式的类型有种。6．若不可约多项式()px是()fx的k重因式，则()px是(1)()kfx的重因式。7．写出行列式展开定理及推论公式。8．当排列12niii是奇排列时，则12niii可经过数次对换变成12n。9．方程组12312322232121xxxaxbxcxdaxbxcxd，当满足条件时，有唯一解，唯一解为。10．若242(1)1xaxbx，则a，b。二、判断题（共10题，每题1分，共10分）。1．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。（）2．两个多项式互素当且仅当它们无公共根。（）3．设12n是nP中n个向量，若nP，有12,n线性相关，则12n线性相关。（）4.设是某一方程组的解向量，k为某一常数，则k也为该方程组的解向量。（）5．若一整系数多项式()fx有有理根，则()fx在有理数域上可约。（）6秩()AB＝秩A，当且仅当秩0B。（）7．向量线性相关它是任一向量组的线性组合。（）8．若(),()[]fxgxPx，且((),())1fxgx，则(()(),()())1fxgxfxgx。（）9．(),()[]fxgxZx，且()gx为本原多项式，若()()()fxgxhx则()[]hxZx。（）10．若,,,nnABCDP，则ABADBCCD。（）三、选择题（共5题，每题2分，共10分）。1．A为方阵，则3A（）A.3AB.AC.3nAD.3nA2.若既约分数rs是整系数多项式()fx的根，则下面结论那个正确（）A.(1),(1)srfsrfB.(1),(1)srfsrfC.(1),(1)srfsrfD.(1),(1)srfsrf3.n阶行列式D，当n取怎样的数时，次对角线上各元素乘积的项带正号（）A.4k或42kB.4k或41kC.4k或43kD.41k或42k4．含n有个未知量1n个方程的线性方程组1111221111221,111,221,1nnnnnnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb有解的（）条件是行列式111211121,11,21,10nnnnnnnnnnnaaabaaabaaab。A.充要B.必要C.充分必要D.不充分不必要5．1110()[]nnnnfxaxaxaxaZx，若既约分数pq是()fx的有理根，则下列结论正确的是（）A.0,npaqaB.,nnpaqaC.0,npaqaD.00,paqa四、计算题（共4题，每题7分，共28分）。1．设432()343fxxxxx，32()31023gxxxx求((),())fxgx，并求(),()uxvx使((),())()()()()fxgxuxfxvxgx。2．计算下列n阶行列式111212122212nnnnnnnababababababDababab3．求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并写出它的通解。1234123412341234502303803970xxxxxxxxxxxxxxxx4．设012114210A，判断A是否可逆，若可逆，求1A五、证明题（共4题，每题8分，共32分）。1．设,AB为nn矩阵，如果0AB，那么秩()A＋秩()Bn。2．如果a是()fx的一个k重根，证明a是()[()()]()()2xagxfxfafxfa的一个3k重根。3．证明：cos1000012cos1000012cos000cos0002cos1000012cos1000012cosnDn4．设向量组12,,,(1)s12,,,(2)t1212,,,,,,(3)st的秩分别为123,,rrr，证明12312max{,}rrrrr。答案一．1．零次2.充分3.2nn4.15.26.单7．11220ijijinjnDijaAaAaAij8.奇9.,,abc互不相同10.1,2ab二．1－56－10三．CCBBC四．1．((),())3fxgxx；2312()1,()555uxxvxxx2．1112121()()203nabnDaabbnn3．一般解为13422432722xxxxxx，34,xx为自由未知量。基础解系为1327210，21201。4．A可逆，且121142131122A五．1．证：令12(,,,)nBBBB，1211(,,,)(,,,)(0,0,,0)nnABABBBABABAB0,1,2,,iABiniB是0AX的解。秩12(,,,)nBBB＝秩Bn秩A。秩A＋秩Bn。2．证：()()()0gagaga且a是()gx的1k重根，a是()gx的3k重根。3．提示：nD按最后一行展开，得证。4．提示：取极大无关组，得证。