ARIMA模型在我国对外贸易中的应用

1ARIMA模型在我国对外贸易中的应用摘要：新中国已成立58年，在这58年中中国发生了翻天覆地的变化。随着改革开放的实施，中国逐步打开国门，与世界接轨，逐步发展成为国际化大国。全国进出口贸易总额在很大程度上可以反映这一情况，本文选取该指标来研究中国近年来国际贸易情况，并预测未来国际贸易趋势。尤其是自1994年中国实行盯住美元的汇率制度以来，中国的贸易差额开始了持续的正盈余。2001年中国加入WTO后，对外贸易额大幅度增加，中国在国际舞台中的地位日益提升。近年来，美国、欧盟、中国香港在中国对外出口中的份额有所增加，而出口到日本的份额下降。美国、欧盟、日本等主要经济体的经济发展态势对于中国的外贸出口影响大。与此同时，中国外贸依存度也出现了巨大的变化。1985～2005年，中国对外贸易年均增长比国民经济增长快9个百分点，外贸依存度从1985年的21.4%提高到2005年的80.2%。特别是在加入WTO后，外贸依存度与出口依存度出现了直线上升势头。中国出口拉动战略型战略由此可见。在出口拉动下，通常会低估本币，反应在汇率上就会表现为汇率持续的上升。本文首先介绍了时间序列模型的基本概念，然后在实证中，本文所用数据为1950年－2005年全国进出口贸易总额，数据来源于《新中国50年统计年鉴》第60页。该表1979年以前为外贸业务统计数，从1980年起为海关进出口统计数，单位为亿元人民币。关键词：时间序列；ARMA模型；ARIMA模型；对外贸易一、时间序列模型的基本概念(一)时间序列模型的介绍随机时间序列模型（timeseriesmodeling）是指仅用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为Xt=F(Xt-1，Xt-2，…，t)1.纯AR(p)过程Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(*)如果随机扰动项是一个白噪声(t=t)，则称(*)式为一纯AR(p)过程（pure2AR(p)process），记为：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t2.纯MA(q过程如果随机扰动项不是一个白噪声，通常认为它是一个q阶的移动平均（movingaverage）过程MA(q)：t=t-1t-1-2t-2--qt-q该式给出了一个纯MA(q)过程（pureMA(p)process）。3.一般的自回归移动平均（autoregressivemovingaverage）过程ARMA（p，q）将纯AR(p)与纯MA(q)结合，得到一个一般的自回归移动平均（autoregressivemovingaverage）过程ARMA（p，q）：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t-1t-1-2t-2--qt-q该式表明：（1）一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过程生成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随机扰动项来解释。（2）如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的行为来预测未来。这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。4.自回归单整移动平均时间序列ARIMA(p，d，q)ARIMA模型全称为自回归移动平均模型(AutoregressiveIntegratedMovingAverageModel，简记ARIMA)，是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)于70年代初提出的一著名时间序列预测方法，所以又称为box-jenkins模型、博克思-詹金斯法。其中ARIMA（p，d，q）称为差分自回归移动平均模型，AR是自回归，p为自回归项;MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。如果我们将一个非平稳时间序列通过d次差分，将它变为平稳的，然后用一个平稳的ARMA(p，q)模型作为它的生成模型，则我们就说该原始时间序列是一个自回归单整移动平均（autoregressiveintegratedmovingaverage）时间序列，记3为ARIMA(p，d，q)。ARIMA模型的基本思想是：将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机序列，用一定的数学模型来近似描述这个序列。这个模型一旦被识别后就可以从时间序列的过去值及现在值来预测未来值。现代统计方法、计量经济模型在某种程度上已经能够帮助企业对未来进行预测。ARIMA模型预测的基本程序：（1）根据时间序列的散点图、自相关函数和偏自相关函数图以ADF单位根检验其方差、趋势及其季节性变化规律，对序列的平稳性进行识别。一般来讲，经济运行的时间序列都不是平稳序列。（2）对非平稳序列进行平稳化处理。如果数据序列是非平稳的，并存在一定的增长或下降趋势，则需要对数据进行差分处理，如果数据存在异方差，则需对数据进行技术处理，直到处理后的数据的自相关函数值和偏相关函数值无显著地异于零。（3）根据时间序列模型的识别规则，建立相应的模型。若平稳序列的偏相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，可断定序列适合AR模型；若平稳序列的偏相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，则可断定序列适合MA模型；若平稳序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的，则序列适合ARMA模型。（4）进行参数估计，检验是否具有统计意义。（5）进行假设检验，诊断残差序列是否为白噪声。（6）利用已通过检验的模型进行预测分析。(二)随机时间序列模型的平稳性条件自回归移动平均模型（ARMA）是随机时间序列分析模型的普遍形式，自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）是它的特殊情况。1.AR(p)模型的平稳性条件随机时间序列模型的平稳性，可通过它所生成的随机时间序列的平稳性来判断。如果一个p阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳的，就说该AR(p)模型是平稳的，否则，就说该AR(p)模型是非平稳的。4考虑p阶自回归模型AR(p)：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(*)引入滞后算子（lagoperator）L：LXt=Xt-1，L2Xt=Xt-2，…，LpXt=Xt-p(*)式变换为(1-1L-2L2-…-pLp)Xt=t记(L)=(1-1L-2L2-…-pLp)，则称多项式方程(z)=(1-1z-2z2-…-pzp)=0为AR(p)的特征方程(characteristicequation)。可以证明：如果该特征方程的所有根在单位圆外（根的模大于1），则AR(p)模型是平稳的。对高阶自回模型AR(p)来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性：(1)AR(p)模型稳定的必要条件是：1+2++p1(2)由于i(i=1，2，p)可正可负，AR(p)模型稳定的充分条件是：|1|+|2|++|p|12.MA(q)模型的平稳性对于移动平均模型MR(q)：Xt=t-1t-1-2t-2--qt-q其中t是一个白噪声，于是当滞后期大于q时，Xt的自协方差系数为0。因此：有限阶移动平均模型总是平稳的。3.ARMA(p，q)模型的平稳性由于ARMA(p，q)模型是AR(p)模型与MA(q)模型的组合：22111121322111122210),cov()(),cov()(),cov()1(varqqttqqqqttqqqttqtXXXXXXX0)()()()(11qqtttEEEXE5Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t-1t-1-2t-2--qt-q而MA(q)模型总是平稳的，因此ARMA(p，q)模型的平稳性取决于AR(p)部分的平稳性。当AR(p)部分平稳时，则该ARMA(p，q)模型是平稳的，否则，不是平稳的。(三)时间序列模型的建立过程1.模型的识别所谓随机时间序列模型的识别，就是对于一个平稳的随机时间序列，找出生成它的合适的随机过程或模型，即判断该时间序列是遵循一纯AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程。所使用的工具主要是时间序列的自相关函数（autocorrelationfunction，ACF）及偏自相关函数（partialautocorrelationfunction，PACF）。ARMA(p，q)的自相关函数，可以看作MA(q)的自相关函数和AR(p)的自相关函数的混合物。当p=0时，它具有截尾性质；当q=0时，它具有拖尾性质；当p、q都不为0时，它具有拖尾性质从识别上看，通常：ARMA(p，q)过程的偏自相关函数（PACF）可能在p阶滞后前有几项明显的尖柱（spikes），但从p阶滞后项开始逐渐趋向于零；而它的自相关函数（ACF）则是在q阶滞后前有几项明显的尖柱，从q阶滞后项开始逐渐趋向于零。ARMA(p，q)模型的ACF与PACF理论模式模型ACFPACFAR(p)衰减趋于零（几何型或振荡型）p阶后截尾MA(q)q阶后截尾衰减趋于零（几何型或振荡型）ARMA(p，q)q阶后衰减趋于零（几何型或振荡型）p阶后衰减趋于零（几何型或振荡型）62.随机时间序列ARMA(p，q)模型的矩估计在ARMA(p，q)中共有(p+q+1)个待估参数1，2，，p与1，2，，q以及2，其估计量计算步骤及公式如下：第一步，估计1，2，，p是总体自相关函数的估计值，可用样本自相关函数rk代替。第二步，改写模型，求1，2，，q以及2的估计值将模型改写为：令于是(*)可以写成：构成一个MA模型。按照估计MA模型参数的方法，可以得到1，2，，q以及2的估计值。3.模型的检验(1)残差项的白噪声检验由于ARMA(p，q)模型的识别与估计是在假设随机扰动项是一白噪声的基础上进行的，因此，如果估计的模型确认正确的话，残差应代表一白噪声序列。如果通过所估计的模型计算的样本残差不代表一白噪声，则说明模型的识别与估计有误，需重新识别与估计。在实际检验时，主要检验残差序列是否存在自相关。ptpttttXXXXXˆˆˆ~2211tptptttXXXX2211tptptttXXXX2211qtqtt2211k1211112112pqqqpqqqpqpqpqqqqpqtqttttX2211~7可用QLB的统计量进行2检验：在给定显著性水平下，可计算不同滞后期的QLB值，通过与2分布表中的相应临界值比较，来检验是否拒绝残差序列为白噪声的假设。若大于相应临界值，则应拒绝所估计的模型，需重新识别与估计。(2).AIC与SBC模型选择标准：另外一个遇到的问题是，在实际识别ARMA(p，q)模型时，需多次反复偿试，有可能存在不止一组（p，q）值都能通过识别检验。显然，增加p与q的阶数，可增加拟合优度，但却同时降低了自由度。因此，对可能的适当的模型，存在着模型的“简洁性”与模型的拟合优度的权衡选择问题。常用的模型选择的判别标准有：赤池信息法（Akaikeinformationcriterion，简记为AIC）与施瓦兹贝叶斯法（SchwartzBayesiancriterion，简记为SBC）：其中，n为待估参数个数（p+q+可能存在的常数项），T为可使用的观测值，RSS为残差平方和（Residualsumofsquares）。在选择可能的模型时，AIC与SBC越小越好。显然，如果添加的滞后项没有解释能力，则对RSS值的减小没有多大帮助，却增加待估参数的个数，因此使得AIC或SBC的值增加。需注意的是：在不同模型间进行比较时，必须选取相同的时间段