调节器的工程设计方法之扩展-典型III 型系统及

－典型III型系统及其优化设计1卢健康1高扬2史仪凯3杨朝辉4西北工业大学西安[e-mail]@126.com摘要：本文提出一种典型III型系统。经过理论研究和大量的数字仿真与计算机辅助分析，在保证系统稳定的条件下，依据Mrmin及tsmin准则得出了该典型III型系统的优化设计方法。本文内容可作为现有调节器的工程设计方法之扩展。关键词：典型III型系统优化设计调节器1引言调节器的“工程设计方法”[1],作为运动控制系统中调节器的基本设计方法，长期以来在电力拖动自动控制系统的优化设计中得到广泛应用，其简便、实用和有效性为大量的实践所证明。然而，由于它只含有典型I型与典型II型两种典型系统，不适于设计稳态误差度要求较高的系统，如跟踪空中目标的雷达随动系统等。因为这类系统的输入信号中含有与时间的平方成正比的成份，只有设计成III型系统，才能使稳态误差为零。一般认为III型及III型以上系统很难稳定，所以通常只将系统设计成I型或II型[2].为了解决工程设计方法存在的上述问题，本文提出一种典型III型系统。文中不仅解决了它的稳定性问题，而且沿用典型II型系统的优化设计思路，经过大量的数字仿真和计算机辅助分析，得出了这种典型III型系统的优化设计方法。因此，可作为现有调节器的工程设计方法之扩展。2典型III型系统的结构及其稳定判据具有单位反馈结构的典型III型系统的开环传递函数为)1()1)(1()(321+++=TppppKpWTkττ（1）(1)式中，p为复变量，时间常数T为被控对象的固有参数，KT是开环放大系数，它为系统中的可变参数，τ1与τ2这两个时间常数可能都是可变参数，也可能都是固有参数或其中一个可以改变，因系统的具体组成而异。为了分析方便，作如下变量代换：令Tps=，则)(pWk可变换为1本课题得到国家自然科学基金（50275125）项目资助(s)(p)kWW=)1()1)(1(321+++=sssTsTK（2）(2)式中：3TKKT=TTTT//2211ττ==（3）上述变量代换的意义是以系统的固有参数T为时间基准来分析设计，求出相对参数K、T1、T2后再按（3）式求出实际参数。所以，依据（2）式得出的具有时间量纲的指标（如调节时间ts等），只是无量纲的相对指标，须乘以T后才是实际的时域指标；同理，具有频率量纲的指标（如截至频率ωc），须除以T后才是实际的频域指标。典型III型系统的闭环传递函数是：11ss)s(12234122cl++++++=sbsbKsKsbbW（4）其中：b1=T1+T2b2=T1T2（5）根据四阶系统的劳斯判据，可得出使系统稳定的充要条件：K0b2b10且K(b2-b1)b11（6）由于实际系统中T1、T2均为正数，故要满足条件b2b10必须满足T11,T21,此时，条件b2b10成为b2b12当T12且T22时，b2b12必定满足，所以，T12且T22与K(b2-b1)b11这两个条件可作为使系统稳定的充分条件。3典型III型系统的优化设计III型系统的积分环节多，相位滞后大，所以稳定性差，为了改善其稳定性，应尽量压低闭环幅频特性峰值Mrmin，所以，首先按Mrmin准则来确定典型III型系统中K与其他参数之间的关系。3.1依据Mrmin准则确定K与T1、T2的关系设系统闭环频率特性的幅值平方是),(2KMω，令)K,(M)K,x(Nx222ωω==将),(KxN对x求偏导，并且令其为零，得0),(=∂∂xKxN化简并整理，得出：001223344=++++AxAxAxAxA（7）（7）式中的系数都是系统参数K、T1、T2的函数，其表达式很复杂，此处从略。经过对式中各系数表达式的分析可知：004AA。此不等式表明：（7）式中系数变号次数为奇数次。由笛卡尔法则可知，方程至少有一个正根。在合理的范围内给定一系列K、T1、T2的值，计算（7）式中的系数，结果表明，其系数始终只变号一次，说明方程必有且仅有一个正根。通过分析可知，此正根对应的),(KMω值正是闭环幅频特性峰值Mr。),(=∂∂KKxN，可解出：1)1(12−++=bxbxxK（8）由（8）式与系统稳定条件可知，当x0时，必有K0。把（8）式代入（7）式消去K,可解出其唯一正根x为：+−++−=2112121222{)(21bbbbbbbbx[]})1)(8(21121212121+−+−+bbbbbbbb（9）再把（9）式代入（8）式并利用（5）式消去b2与b1，最后可得到依据Mrmin准则确定的K与T1、T2的复杂关系式),(212TTfK=。为了节约篇幅和便于读者直接用它来编程计算，此关系式以Matlab符号计算结果的形式给出如下[3]：(K、T1、T2分别对应公式中的K与T1、T2)。K=1/2*(-T1^2*T2-T1*T2^2-T1^2-T2^2+T1+T2+((T2-1)*(T1-1)*(T1+T2)*(T1^2*T2-T1^2+6*T1*T2+T1*T2^2+T1-T2^2+T2))^(1/2)+2*T1^2*T2^2)*(T1^2*T2+T1*T2^2-T1^2-T2^2+T1+T2+((T2-1)*(T1-1)*(T1+T2)*(T1^2*T2-T1^2+6*T1*T2+T1*T2^2+T1-T2^2+T2))^(1/2))/(3*T1^2*T2-3*T1^2-6*T1*T2+3*T1*T2^2-3*T2^2+3*T1+3*T2+((T2-1)*(T1-1)*(T1+T2)*(T1^2*T2-T1^2+6*T1*T2+T1*T2^2+T1-T2^2+T2))^(1/2))/(T1*T2-T1-T2)/T1^2/T2^2（10）在合理范围内任给出若干组T1、T2值，按（10）式求出每组对应的K值，并在求出的K值左右各取两个不同K值，然后在此基础上分别画出不同K值下的)(Mω曲线，如图1所示。可以看出：按（10）式求得的K值使Mr达到最小值Mrmin（图1是其中T1=T2=7.8时的曲线）。图1典型III型系统不同K值时的图2T2＝8时的ts~T1曲线M(ω)和Mrmin3.2按tsmin准则确定T1与T2之关系在一般情况下，T1与T2是可变参数或至少有一个为可变参数。因此，需要研究在（10）式的基础上对系统可变参数进一步做最优化设计的方法。笔者在2.8T118、2.8T218的范围内，取△T1＝△T2＝0.02，对T1—T2平面上多达761×761个点按（10）式求K值，Mr2K3K2KK4K5Mr3MrminMr4Mr5ωMT1ts：超调量σ、上升时间tr、峰值时间tp和调节时间ts。结果表明：随T1或T2的增加σ单调减小，tr和tp单调增加，其原因可解释如下：随T1或T2的增加,其微分作用增强，相应的零点向原点靠近，从而使系统响应变慢，阶跃响应的振荡程度减缓，所以会出现上述结果。然而，随着T1或T2的增加，ts却非单调变化，而是先波浪式减小，然后持续增加，存在一个最小值（图2所示是T2＝8时的ts－T1曲线）。这与按Mrmin准则设计典型II型系统中中频宽h与ts的关系类似。其原因是：T1或T2过小，阶跃响应虽然快，但振荡剧烈，要进入稳态需较长时间；而T1或T2过大，振荡程度虽然减小，但响应又过慢，也会使过渡过程拖长；只有合适的T1或T2值，才能使ts最小。根据计算机求出的ts随T1与T2变化的三维曲面，可以在T1—T2平面求出一条使ts＝tsmin的曲线，如图3所示。图中的T1与T2取值从5.04开始，因为T1与T2小于5.04时，超调量和调节时间都有一个较大的增加，性能指标变差。由于T1与T2在传递函数中的地位完全相同，所以，这条曲线应该是也的确是以T1＝T2为对称轴的双曲线。因而可以用二次函数曲线做出相当准确的拟和，其方程是：931.3)931.3(359.1512+−=TT（11）图3使ts＝tsmin的曲线图4tsmin、tp、tr、σ与T1的关系3.3参数优化设计方法把（11）式代入（10）式，可得出K与T1的关系式，此式非常复杂，采用里米兹算法求出近似精度很高的6次最佳一致逼近多项式如下：56-68-104696.2101903.3-11TΤK×+×=−×+×33-45-10332.1108848.711TT-115437.00627.0012586.012-TT11+(12)当T1与T2符合（11）式关系时，可用计算机求出超调量σ、上升时间tr、峰值时间tp和最小调节时间tsmin与T1的关系曲线，如图4所示。这些曲线也很接近二次曲线，用最小二乘法得出最大误差小于百分之一的拟和多项式式分别为：2sminTTt1314-02129.0104517.5-+×=82903.824617.01+T-（13）(11)式所得曲线T1T2tsmin~T1tp~T1tr~T1σ~T1T1tsmintptrσ+×=0395.51648.01+T（14）213-314-r101165.91034247.2-TTt×+×=74236.21053.0-1+T（15）13214T109822T1070341−×+×=..--σ47411.0+（16）由图4曲线可知，按（10）和（11）式确定参数时，只要5.04T118，则有ts8.14,tr2.44,tp4.57,σ0.492。与典型II系统时域性能指标最好的情况（h＝5）相比，除了超调量略大外，其它各项指标均优于典型II系统的最好指标。如果系统参数中T1与T2都是固有参数，则参数设计的任务就是按（10）式求出K值。如果T1与T2中有一个为可变参数，不妨设为T2，则参数设计的方法是：先由（11）式求出T2的值，再由（10）式或（12）式求出K值，然后可根据（13）～（16）式确定系统的时域指标。如果T1与T2都是可变参数，则参数设计的方法是：先根据系统对性能指标的要求，从σ、tr、tp和tsmin与T1的关系（13）～（16）式确定T1，再由（11）式求出T2值，最后用（10）式或（12）式求出K值。4总结为了克服现有调节器的工程设计方法稳态误差度不高的缺陷，本文提出一种典型III型系统。文中不仅解决了III型系统难以稳定的问题，而且沿用典型II型系统的优化设计思路，依据Mmin和tsmin准则，通过大量的计算机辅助分析与数字仿真，得出了这种典型III型系统的优化设计方法及其所需公式。因此，文中内容可作为现有调节器的工程设计方法之扩展。需要说明的是，本文的分析和设计都是基于系统的跟随性能来讲的，要研究系统的抗扰性能，就需要确定系统的具体结构。笔者针对一种位置随动系统结构，研究了典型III型系统的抗扰性能，还研究了位置调节器饱和情况下系统的表现，限于篇幅，这些内容将另文叙述。参考文献[1]陈伯时.电力拖动自动控制系统—运动控制系统(第三版).北京：机械工业出版社,2003.8[2]胡寿松.自动控制原理简明教程.北京：科学出版社,2003.8[3]张志涌.精通Matlab6.5版.北京：北京航空航天大学出版社,2003.3[4]徐士良.数值分析与算法.北京：机械工业出版社.2003.4’sengineeringdesignmethod—theTraditionalIIISystemanditsoptimaldesignLuJiankang1GaoYang2ShiYikai3YangZhaohui4(North