《2017年江苏省扬州市压轴题独家揭秘》

勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第1页共11页《2017年江苏省扬州市压轴题独家揭秘》汪曾祺学校段广猛下面我们来看一看2017年扬州中考压轴题，笔者称此题为“真假瓜豆题”，什么意思？“瓜豆”怎会有“真假”之说？且听我慢慢道来！例：（2017年扬州压轴题）如图2，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．(1)若AP＝1，则AE＝；(2)①求证：点O一定在△APE的外接圆上；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；(3)在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．图2OFGEABDCP简析：如图2－1，识别“一线三直角”基本相似型，即Rt△CBP∽Rt△PAE，从而有=AEAPBPBC，则=APBPAEBC；设AP＝x，则44xxAE，据此可先解决第(1)小问与第(3)小问；当AP＝1时，即x＝1，代入上式即得AE＝34，问题(1)得解；如图2－2，易知Rt△APE的外接圆的圆心为斜边PE的中点M，过点M作MN⊥AB于点N，则有Rt△PNM∽Rt△PAE，故1=2MNPMEAPE，从而有12MNEA＝48xx勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第2页共11页48xx，因此当x＝2时，MN取最大值12，即该圆心到AB边的距离的最大值为12，问题(3)得解；下面集中精力解决第(2)问；如图2－3，易知Rt△APE的外接圆即为以斜边PE为直径的⊙M，连接OM，由正方形PEFG知∠POE＝90°，从而有OM＝12PE，故点O一定在△APE的外接圆上；图2-2图2-3图2-1NMOFGEABMOFGEABOFGEABCDCDDCPPP当点P从点A运动到点B时，点O经过的路径属“直来直去”型，下面给出两种说理方式，借助所谓“夹角定位法”，来证明点O的路径是直线型：方式一（借助辅助圆）：如图2－4，前面已证明点O在△APE的外接圆上，即A、P、O、E四点共圆，故∠EAO＝∠EPO＝45°，从而目标点O一定在某条直线上运动，其实这条直线就是对角线AC所在的直线；方式二（作“双垂”，证角平分线）：如图2－5，作OK⊥AD于点K，OH⊥AB于点H，易知∠KOE＝∠HOP＝90°－∠EOH，又因为∠OKE＝∠OHP＝90°且OE＝OP，所以有KOE≌HOP（AAS）；因此有OK＝OH，再连接OA，易知∠DAO＝∠BAO＝45°，从而目标点O一定在对角线AC所在的直线上运动；证出了点O的路径为“直线型”，接下来，只需要利用“临界点法”确定点O的起点与终点即可求出路径长：如图2－6，易知点O的起点为点A，终点为对角线AC与BD的交点，此时AO＝12AC＝22，即为所求，问题得解！勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第3页共11页图2-6图2-5图2-4O（F）（G）（E）ABHKOFGEABOFGEABDCCDCDPP（P）解题后反思：通过上面的解答来看，第(1)小问与第（3）小问的联系更加紧密，都要经过必要的代数计算，而第(2)小问的解答偏向于几何多一些，这里的路径问题采取了“夹角定位法”来说明“直线型路径”，最后借助“临界点法”轻松搞定，这样每个问题之间的过渡更自然顺畅，环环相扣递进式的设问方式体现的会更加淋漓尽致些；上面的解答看似“无懈可击”，但好问的笔者不禁又想提几个“刁钻”的问题及变式：笔者疑惑：毫无疑问，点O的路径肯定属“直线型”，但随后采取的“临界点法”确定点O的起点与终点后就直接求出这两点之间的距离，这样的做法是否欠妥？会不会出现点O“来回走”的情形？针对以上疑惑，笔者展开了如下有力的探讨；方法一（“见等腰直角三角形，造K字形全等”＋梯形中位线定理）：如图2－7，过点F作FQ⊥AD于点Q，则FQE≌EAP（AAS），设AP＝QE＝x，由前面的计算知44xxAEQF；如图2－8，过点O作OT⊥AD于点T，由“梯形的中位线定理”易知，在梯形APFQ中，484228xxxxxQFAPOT，其中0≤x≤4；由等腰RtOAT知OA＝2OT＝282888xxxx，其中0≤x≤4，故OA的长随x的增大而增大，当x＝4时，即AP＝4时，点P运动到点B处，OA达到最大值22，即为所求，问题得解；勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第4页共11页xy图2-9图2-8图2-7TQOFGEBATQOFGEABQOFGEABCDDCCDPPP上面的求解中用到了梯形的中位线相关知识，这是新教材已经明确删除的内容，如果你觉得有困难的话，也可以过点F作AB的垂线，然后很容易将此结论证明出来，不再赘述；当然要想说明点O不会出现“来回走”现象，也可以采取解析法说理，具体如下：方法二（“见等腰直角三角形，造K字形全等”＋解析法）：如图2－9，以点A为原点，建立平面直角坐标系，设P（x，0），可以推出E（0，44xx），从而F（44xx，x＋44xx），又易知O为PF的中点，由“中点坐标公式”易知点O（442xxx，442xxx），由其横、纵坐标相等，亦可知点O一定在正方形ABCD的对角线AC上运动，且AO＝4282428288xxxxxxx，其中0≤x≤4，下略；勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第5页共11页xy图2-9图2-8图2-7TQOFGEBATQOFGEABQOFGEABCDDCCDPPP上述两种解法殊途同归，最终都是借助二次函数的增减性，结合其图像的性质分析出点O的路径“直来直去”，根本就不会出现来回运动的现象，这种通过必要计算进行说理的方式，同学们需要认真揣摩！至此，本题的解答就真正完美了！对于路径与最值问题，正所谓：“传统技法定夹角，走投无路解析搞；苦思冥想不得法，神来之笔瓜豆秒！”下面笔者再给出若干变式及解答，旨在巩固方法，提升技能！勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第6页共11页变式1：如图2－10，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E．当P从A运动到B时，求AE的最大值及点E经过的路径长；变式2：当P从A运动到B时，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求证该圆心一定在某条抛物线上，并求出其到AB边距离的最大值；变式3：若原题中正方形的顶点G落在CP的延长线上，其他条件不变，如图2－11所示，当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长及点O到AB边距离的最大值.图2-11图2-10OGFEABEABDCDCPP变式4：如图2－12所示，已知等腰Rt△ABD的直角边长为4，P是AB边上的一个动点，E是AD边上的一个动点，以PE为对角线作正方形PFEG．(1)若PE始终为定长4，则AG的最大值为；(2)若PE的长度不定，随着点P、E的运动，则AG的最大值为；(3)在(2)的条件下，如图2－13所示，请分别求出BG、BF的取值范围.图2-13图2-12FGABFGABDDPEPE下面给出几个变式的简析过程：勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第7页共11页变式1（“一线三直角”＋“临界点法”）：同前分析，设AP＝x，由“一线三直角”基本相似型，易知44xxAE，当x＝2时，即AP＝2时，AE取最大值1；当点P位于起点A处，点E与点A重合；当点P走到终点B处，点E依然与点A重合.这说明点E的运动路径有来回，即点E在线段AB上，先由起点A运动到最远AE＝1处，然后又原路返回到起点A处，故点E的运动路径长为2,，问题得解；解题后反思：变式1中，当“主动点”P位于起点及终点处，发现“从动点”E都位于起点A处，由此，我们有充分的理由相信，这里的“直线型”路径肯定是有来回的，接下来只要能确定点E能跑到的最远处，即AE能取的最大值，只要用此最大值乘以2即为所求，这就是有来回的“直线型”路径问题中经常会采取的方法，即找到起点、终点以及一些中间的转折点，结合图形，把握联系，方可解决问题！变式2（“一线三直角”＋“解析法”）：如图2－14，以点A为原点，建立平面直角坐标系，设P（t，0），可以推出E（0，44tt），则Rt△APE的外接圆的圆心即为其斜边PE的中点M，由“中点坐标公式”有点M的坐标为（2t，48tt），再令248txtty，消去t得242282xxxxy，即212yxx，故△APE的外接圆的圆心M一定在抛物线212yxx上运动；至于圆心M到AB边距离的最大值，同原题分析，只需再过M作MN⊥AB于点N，则有MMNy48tt，因此当t＝2时，MN取最大值12，即为所求；xy图2-14NMOFGEABDCP勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第8页共11页解题后反思：变式2中，解析法的引入为同学们解决相关问题打开了另一扇广阔的大门，如这里证明轨迹类型以及求最值问题等！同学们要重视此种方法的积累，很多看似无路可循的几何问题，若是巧建坐标系，引入解析法，或许就会产生“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”之感；此变式问题中求△APE的外接圆的圆心到AB边距离的最大值问题，看似与原题中解法雷同，实则还是与一些细节上的差别的，原题中求此最大值的方法偏几何构造些，而这里的解法偏代数（解析）一些！变式3（“一线三直角”＋“解析法”）：当正方形的顶点G落在CP的延长线上时，点O经过的路径长问题与原题中的求法如出一辙，结论不变，不再赘述，分析过程如图2－15及图2－16所示，请自行探讨；确定了点O的路径后，要求点O到AB边距离的最大值，就简单多了，如图2－16，当点P运动到终点B时，点O到AB边的距离最大，值为22，问题得解；图2-16图2-15MOGF(E)ABMOGFEABCDDCP(P)变式4：(1)若PE始终为定长4，则P、E两点的运动相互限制；如图2－17，取PE的中点M，连接AM、MG，则由题可得AM＝MG＝12PE＝2；锁定△AMG，由三角形的三边关系易得AG≤AM＋MG＝4，即此时AG的最大值为4，当且仅当A、M、G三点共线时取最大值，进一步还可以确定出△APE为等腰直角三角形，即此时有AP＝AE＝22，这也符合“超级对称”的几何直观感；(2)若PE长度不定，则P、E两点的运动“无拘无束”，毫无限制，想怎么动就怎么动；缺失了PE始终为4这个不变量，解法就不可“同日而语”了，这里可以模仿原题中勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第9页共11页的解法，巧构“辅助圆”，借助“夹角定位法”，先确定动点G的运动轨迹；如图2－18，同理，通过圆的定义，容易得出A、P、G、E、F五点共圆，则有∠EAG＝∠EPG＝45°，从而目标点G的运动轨迹一定是“直线型”；接下来，借助“临界点法”，易找到G点的起点与终点，如图2－19的蓝线所示；据此可知AG的最大值为42，问题得解；图2-19图2-17图2-18(F)GABFGMABFGMABDDDPEPE(P)(E)(3)在(2)的条件下，确定了点G的运动轨迹后，要求BG的取值范围，就转化为了求定点B到定直线上的点连线段的取值范围；如图2－20所示，易知BG的最小值为BG1＝22，BG的最大值为BG2（或BA）＝4，故BG的取值范围为22≤BG≤4；同理，可得BF取值范围：如图2－21，先确定点F的运动轨迹属“直线型”，再借助于“临界点法”找到动点F的临界位置，如图2－22所示，据此可轻松确定BF的最小值为BF2＝22，BF的最大值为BF1＝210，故BF的取值范围为22≤BG≤210，问题得解；(E2)图2-22图2-21图2-20F2F1GMAB(P2)FGMAB(F)G2G1ABDDD(P)(E)PE(P1)(E1)勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第10页共11页至此，2017年扬州压轴题及相关变式都得到了完满解答，相信同学们对于此类轨迹问题有了更深入的了解，下