数理统计习题

数理统计习题答案（前六章）1．一盒中有五枚纪念章，编号为1，2，3，4，5，从中任取3枚，用X表示取出的纪念章的最大号码，求X的分布律。解：由题意知：X的取值为3，4，5，P{X=3}=1.0105135C，P{X=4}=3.01033523CC，P{X=5}=6.01063524CC故X的分布律为或X的分布律为P{X=k}=352111CCCk,k=3,4,5。2．进行某种试验，成功的概率为3/4，失败的概率为1/4，以X表示直到试验成功所需试验的次数，（1）试写出X的概率分布；（2）求X取偶数的概率。解：（1）X的概率分布律为kkkXP4343)41(}{1，k=1,2,…（2）X取偶数的概率P{X=偶数}=P{X=2}+P{X=4}+…+P{X=2k}+…2.015314341143434343222242kX012P0.10.30.63．设随机变量X的分布列为：X0123P0.40.2p30.1求：（l）p3；（2）P{0X3}；（3）分布函数F(x)。解：（1）由pk的性质知11.02.04.0341ppkk，故p3=1－0.7=0.3。（2）P{0X3}=P{X=1}+P{X=2}=0.2+0.3=0.5。（3）则当x0时，F(x)=P{X≤x}=0；当0≤x1时，F(x)=P{X≤x}=P{X=0}=0.4；当1≤x2时，F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}=0.4+0.2=0.6；当2≤x3时，F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=0.4+0.2+0.3=0.9；当x≥3时，F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=1。故X的分布函数为3,132,9.021,6.010,4.00,0)(xxxxxxF4．设随机变量X的概率分布P(X=k)=Na,k=1,2,…,N试确定常数a，共计算E(X)及D(X)。解：因11aNaNNaNaNapNkk，故a=1。E(X)=212)1(111111NNNNkNNkpxNkNkkNkk；E(X2)=6)12)(1(6)12)(1(111121212NNNNNNkNNkpxNkNkkNkkD(X)=E(X2)－[E(X)]2=121)21(6)12)(1(22NNNN5.设随机变量X的概率密度为其他,010,)(xCxxf试求：（1）常数C；（2）X落在（0.3，0.7）内的概率；（3）分布函数F(x)；（4）E(X)。解：（1）dxxf)(12]2[10210CxCCxdx,故C=2。（2）4.03.07.0][d2)d(}7.0{0.3227.03.07.03.02.70.30xxxxxfXP（3）当x0时，0d0)d()(xxxxxfxF；当0≤x1时，20200][d2d0)d()(xxxxxxxfxFxxx；当x≥1时，1][d0d2d0)d()(1010210xxxxxxxfxFxx。即X的分布函数为1,110,0,0)(2xxxxxF（4）32]32[2)()(10103xxdxxdxxxfXE。6．设随机变量X的分布函数为1e,0()0,0xxFxx试求：（1）P{X＜4}，P{X＞1}；（2）概率密度函数f(x)。解：（1）P{X＜4}=F(4)=1－e-4，P{X＞1}=1－P{X≤1}=1－F(1)=1－(1－e-1)=e-1（2）00,0,e)()(xxxFxfx7．设随机变量X的概率密度为其他,021,210,)(xxxxxf试求（1）分布函数F(x);（2）数学期望E(X)。解：（1）当x0时，0d0)d()(xxxxxfxF；当0≤x1时，xxxxxxxxfxF0202dd0)d()(；当1≤x2时，1010)d2(dd0)d()(xxxxxxxxxfxFxxxx12102]22[]2[122)212()22(2122xxxx当x≥2时，102210d0)d2(dd0)d()(xxxxxxxxxxfxF1]22[]2[212102xxx。即X的分布函数为2,121,12210,20,0)(22xxxxxxxxF（2）1]3[]3[)d2(d)()(102132103212xxxxxxxxdxxxfXE。8．设随机变量X在（0，5）上服从均匀分布，求方程4t2+4Xt+(X+2)=0中，t有实根的概率。解：随机变量X服从的均匀分布为,其它,050,51)(xxf为使方程4t2+4Xt+(X+2)=0中的t有实根的充要条件是Δ=(4X)2－4×4(X+2)=16X2－16X－32≥0,即X2－X－2≥0则所求概率为P{X2－X－2≥0}=P{(X－2)(X+1)≥0}=P{X≥2且X≥﹣1}+P{X≤2且X≤﹣1}=P{X≥2}+P{X≤﹣1}=dx5251+0=6.053。9．某车间有20台车床独立工作，每台车床开车时间占总工作时间的0.3，又开车时每台车床需用电力是1单位，问：(1)车间需要电力的最可能值是多少单位？（2）若供给车间9单位电力，则因电力不足而耽误生产的概率等于多少？（3）供给车间至少多少单位电力，才能使因电力不足而耽误生产概率小于1％？解：设X为20台车床中开车的车床数，则X服从二项分布B(20,0.3)。（1）因为(n+1)p=21×0.3=6.3非整数，故对6.3取整得[6.3]=6，即车间需要电力的最可能值是6单位电力。（2）所求概率为(查附表2)P{X＞9}=P{X≥10}=04796.0)7.0()3.0(}{202010202010kkkkkCkXP（3）设供给车间m单位电力,则电力不足的概率为P{X＞m}=P{X≥m+1}=01.0)7.0()3.0(}{2020120201kkmkkmkCkXP对n=20,p=0.3,查附表2得m+1=12,故m=11，即至少供给车间11单位电力。10．某地胃癌的发病率为0.01％，现普查5万人，试求（1）没有胃癌患者的概率；（2）胃癌患者少于5人的概率。解：设X为胃癌患者人数，则X服从二项分布B(50000，0.0001)。因为n=50000很大，而p=0.0001非常小，=np=50000×0.0001=5，故可利用泊松近似公式进行计算。(1)所求概率为P{X=0}=0.999950000≈e!00=e-5=0.00674(2)所求概率为P{X5}=1－P{X≥5}=1－kkkkC5000050000550000)9999.0()0001.0(4405.05595.01!515500005ekkk12．某工厂生产的螺栓长度（cm）服从参数=10.05,=0.06的正态分布，如果规定长度在10.05±0.12内为合格品，求任取一螺栓为不合格品的概率。解：螺栓为合格品的概率P{10.05－0.12X10.05+0.12}=)06.005.1012.005.10()06.005.1012.005.10(=(2)－(﹣2)=2(2)－1=2×0.9773－1=0.9546则螺栓为不合格品的概率P=1－0.9546=0.0454。13．设随机变量X～N(60，32)，求分位数x1，x2，使X分别落在区间(﹣∞，x1)，（x1，x2），（x2，+∞）内的概率之比为3∶4∶5。解：设X落在(﹣∞，x1)，(x1，x2)，(x2，+∞)内的概率分别是p1、p2和p3，由题意p1+p2+p3=1，且p1:p2:p3=3:4:5由此计算得p1=41123，p231124，p3=125则P{Xx1}=25.041)360(11px,75.0411)360(1)360(11xx,即68.03601x，故x1=60－3×0.68=57.96又P{Xx2}=1－P{X≤x2}=1－125)360(32px,5833.01271251)360(2x则21.03602x，故x2=60+3×0.21=60.63。因此所求分位数是x1=57.96，x2=60.63。