1.4.1-1.4.2全称量词与存在量词(张用)

1.4.1全称量词3x,3;xRx思考?下列语句是命题吗?(1)与(3)之间,(2)与(4)之间有什么关系?(1);(2)2x+1是整数;(3)对所有的(4)对任意一个2x+1是整数.,xZ短语”对所有的””对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题,常见的全称量词还有:“所有的”,“任意一个”,“对一切”,“对每一个”,“任给”,“凡”等.短语“对所有的””对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题.1,212nn例如：）对任意是奇数。）所有的正方形都是矩形。符号全称命题“对M中任意一个x有p(x)成立”可用符号简记为读作”对任意x属于M,有p(x)成立”.,()xMpx通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。例1判断下列全称命题的真假.（1）所有的素数都是奇数；（2）；（3）对每一个无理数x，x2也是无理数；（4）每个指数函数都是单调函数.11,2xMx要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假。练习：P23:第1题1.4.2存在量词思考：下列语句是命题吗？⑴与⑶，⑵与⑷之间有什么关系？⑴2x+1=3；⑵x能被2和3整除；⑶存在一个x0∈R，使2x0+1=3；⑷至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”，这些词语都是表示整体的一部分的词通常叫做存在量词。用符号“”表示常用的存在量词还有：“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个”,“某些”，“有的”等.含有存在量词的命题叫做特称命题（或存在命题）12例如：）有一个素数不是奇数。）有的平行四边形是菱形。特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为读做“存在一个x0,使p(x0)成立”.x0∈M,p(x0)假假真真假是向量a,课前练习：1．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是()A．∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xyB．∃x0，y0∈R，使x＋y≥2x0y0C．∀x0，y0，都有x2＋y2≥2xyD．∃x00，y00，使x＋y≤2x0y0解析：这是一个全称命题，且x，y∈R，故选A.答案：A2．下列全称命题中假命题的个数是()①2x＋1是整数(x∈R)②对所有的x∈R，x3③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数A．0B．1C．2D．3答案：C解析：对于①，当x＝14时，2x＋1＝32不是整数，假命题．对于②，当x＝0时，03，假命题．对于③，当x∈Z时，2x2是偶数，进而2x2＋1是奇数，所以①②是假命题，故选C.3．下列命题，是全称命题的是________；是特称命题的是________．①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①③是全称命题，②④是特称命题．答案：①③②④4．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：(1)当a＞1时，则对任意x，曲线y＝ax与曲线y＝logax有交点．(2)∃x∈R，使得x2－x＋1≤0.(3)被5整除的整数的末位数字都是0.(4)有的四边形没有外接圆．对于(4)，∵只有对角互补的四边形才有外接圆，∴(4)是真命题.解析：(1)、(3)是全称命题，(2)、(4)是特称命题，对(1)当a＞1时，y＝ax与y＝logax都是增函数且两函数是互为反函数；图象关于直线y＝x对称故没有交点．∴(1)是假命题．对于(2)，∵x2－x＋1＝x－122＋34≥34恒成立，∴(2)是假命题．对于(3)，∵末位数字是5的整数也能被5整除．∴(3)是假命题．判断下列语句是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)有一个实数α，tanα无意义；(2)任何一条直线都有斜率吗？(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；(4)圆内接四边形，其对角互补；(5)指数函数都是单调函数．[解题过程](1)特称命题．α＝π2时，tanα不存在，所以，特称命题“有一个实数α，tanα无意义”是真命题．(2)不是命题．(3)含有全称量词，所以该命题是全称命题，又任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，所以，全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径”是真命题．(4)“圆内接四边形，其对角互补”的实质是“所有的圆内接四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称命题且为真命题．(5)虽然不含逻辑联结词，其实“指数函数都是单调函数”中省略了“所有的”，所以该命题是全称命题且为真命题．1.判断下列语句是全称命题还是特称命题：(1)没有一个实数α，tanα无意义．(2)存在一条直线其斜率不存在．(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径吗？(4)圆外切四边形，其对角互补．(5)有的指数函数不是单调函数．解析：(1)为全称命题．(2)为特称命题．(3)不是命题．(4)为全称命题．(5)为特称命题．将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示，并判断真假．(1)实数的平方是非负数；(2)整数中1最小；(3)方程ax2＋2x＋1＝0(a1)至少存在一个负根；(4)对于某些实数x，有2x＋10；(5)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.[解题过程]题号符号表示真假判断(1)∀x∈R，x2≥0真(2)∀x∈Z，x≥1假(3)∃x0，有ax2＋2x＋1＝0(a1)真(4)∃x∈R，有2x＋10真(5)若∀a⊂α，l⊥a，则l⊥α真[题后感悟]同一个全称命题或特称命题，可能有不同的表述方法，现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择：命题全称命题“∀x∈A，p(x)”特称命题“∃x∈A，p(x)”表述方法①所有的x∈A，p(x)成立②对一切x∈A，p(x)成立③对每一个x∈A，p(x)成立④任意一个x∈A，p(x)成立⑤凡x∈A，都有p(x)成立①存在x∈A，使p(x)成立②至少有一个x∈A，使p(x)成立③对有些x∈A，p(x)成立④对某个x∈A，p(x)成立⑤有一个x∈A，使p(x)成立2.(1)用“量词”表述下列命题，并判断真假：①存在实数对(x，y)，使2x＋3y＋20成立；②有些三角形不是等腰三角形；③至少有一个实数使不等式x2－3x＋60成立；④对所有正实数t，t为正且tt.(2)用文字语言表述下列命题：①∀x∈R，x2≥0；②∃α∈R，sinα＝cosα.②a.存在角α∈R，使sinα＝cosα成立；b．至少有一个角α，使sinα＝cosα成立；c．对于有些角α，满足sinα＝cosα.解析：(1)①∃x∈R，y∈R,2x＋3y＋20.真命题；②∃x∈{三角形}，x不是等腰三角形，真命题；③∃x∈R，x2－3x＋60.假命题；④∀t为正实数，t0且tt.假命题．(2)①a.对任意实数x，都有x2≥0；b．对所有实数x，都有x2≥0；c．对每一个实数x，都有x2≥0.判断下列命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋2x＋10；(2)∃x0∈R，|x0|≤0；(3)∀x∈N*，log2x0；(4)∃x0∈R，sinx0＝π2.[规范作答](1)∵当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，∴原命题是假命题.……………………………3分(2)∵当x＝0时，|x|≤0成立，∴原命题是真命题.……………………………6分(3)∵当x＝1时，log2x＝0，∴原命题是假命题.……………………………9分(4)∵当x∈R时，sinx∈[－1,1]，而π21，∴不存在x0∈R，使sinx0＝π2，∴原命题是假命题.………………………………12分[题后感悟](1)要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只要能举出一个反例，即在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需要找到集合M中的一个元素x0使p(x0)成立即可．只有当对集合M中的任意一个元素x，p(x)都不成立时，才说明这个特称命题是假命题．3.本例(1)中“”改为“≥”，(2)中“≤”改为“”，两命题的真假性如何？解析：(1)∀x∈R，x2＋2x＋1≥0是真命题．(2)∃x0∈R，|x0|0是假命题．4．判断下列命题的真假：(1)∀x∈R，sinx＋cosx≤2.(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；(3)∃x0∈Q，x20＝3；(4)∃x0∈R，x20－x0＋1＝0.解析：(1)∵sinx＋cosx＝2sinx＋x4≤2恒成立，∴对任意的实数x，sinx＋cosx≤2都成立，故该命题是真命题．(2)因为对集合{3,5,7}中的每一个值，都有3x＋1是偶数，所以“∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数”是真命题．(3)由于使x2＝3成立的实数只有±3，且它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方能等于3，所以“∃x0∈Q，x20＝3”是假命题．(4)因为对于x2－x＋1＝0，Δ0，所以方程x2－x＋1＝0无实数根，所以“∃x0∈R，x－x0＋1＝0”是假命题．◎∀x∈[－1,2]，使4x－2x＋1＋2－a0恒成立，求实数a的取值范围．【错解】令t＝2x，则不等式4x－2x＋1＋2－a0化为：t2－2t＋2－a0，①由已知①式有解．∴Δ≥0，即(－2)2－4(2－a)≥0，解得a≥1.【错因】不等式不是在R内有解，而是在[－1,2]内恒成立．换元后，没有求解t的取值范围，缺少了约束条件．用t替换2x后，据x∈[1,2]，求出t∈12，4，确定原来命题的等价命题：∀t∈12，4，at2－2t＋2恒成立，进而求解.所以只需a10即可．即所求实数a的取值范围是(10，＋∞).【正解】已知不等式化为：22x－2·2x＋2－a0①令t＝2x，∵x∈[－1,2]，∴t∈12，4，则不等式①化为：t2－2t＋2－a0，即at2－2t＋2，原命题等价于：∀t∈12，4，at2－2t＋2恒成立，令y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1，当t∈12，4时，ymax＝10.例2判断下列特称命题的真假有一个实数x,使存在两个相交平面垂直于同一条直线;有些整数只有两个正因数.2230;xx要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假。练习：P23:第2题练习：2sin1sin),2,0(.D21,.C0)1(,.B.A12xxxxxRxxRx所有的素数是奇数）命题是：（）下列全称命题中，真（是有理数是无理数于同一直线存在两个相交平面垂直整除和能被，至少有一个）命题是：（）下列特称命题中，假（22},{.D.C32.B032,.A2xxxxZxxxRx.033203成立存在一对实数，使；实数的平方大于等于命题：”表示下列含有量词的”“）用符号“（yx①②.1,4的取值范围是恒成立，则）已知：对（axxaRx.01,2的取值范围是则恒成立，变式：已知：对aaxxRx.01,22的取值范围是则恒成立，：已知：对变式aaxxRx6、全称命题与存在性命题的否定存在性命题：q:x∈A,q(x),它的否定是：￢q:x∈A,￢q(x).全称命题：p:x∈A,p(x),它的否定是：￢p:x∈A,￢p(x).全称命题的否定是