高中数学1[1].3.1函数的单调性课件新人教版必修1

1.3.1函数的单调性函数的基本性质思考1：观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律注意：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质。二、新知探究解析法图像法通俗语言：在区间（0，+∞）上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大。数学语言：在区间（0，+∞）上，任取，得当时，有。这时我们就说函数在区间（0，+∞）上是增函数21,xx,)(,)(222211xxfxxf21xx)()(21xfxf2)(xxfx…01234…f(x)…014916…列表法如何描述函数图像的“上升”“下降”呢？0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象y=f(x)y=f(x)图象特征数量特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象y=f(x)y=f(x)图象特征从左至右，图象上升数量特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象y=f(x)y=f(x)图象特征从左至右，图象上升数量特征y随x的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象y=f(x)y=f(x)图象特征从左至右，图象上升从左至右，图象下降数量特征y随x的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象y=f(x)y=f(x)图象特征从左至右，图象上升从左至右，图象下降数量特征y随x的增大而增大y随x的增大而减小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象y=f(x)y=f(x)图象特征从左至右，图象上升从左至右，图象下降数量特征y随x的增大而增大当x1＜x2时，f(x1)f(x2)y随x的增大而减小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象y=f(x)y=f(x)图象特征从左至右，图象上升从左至右，图象下降数量特征y随x的增大而增大当x1＜x2时，f(x1)f(x2)y随x的增大而减小当x1＜x2时，f(x1)f(x2)那么就说在f(x)这个区间上是单调减函数，I称为f(x)的单调减区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)由此得出单调增函数和单调减函数的定义.xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为A,区间IA.如果对于属于定义域A内某个区间I，x1,x2I设函数y=f(x)的定义域为A,区间IA.如果对于属于定义域A内某个区间I上x1,x2I那么就说在f(x)这个区间上是单调增函数，I称为f(x)的单调区间.增当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，单调区间看下列函数图象,下列各函数有没有单调区间,若有写出其单调区间.图1图3图2没有单调区间减区间增区间,00,没有单调区间（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;有些函数在定义域内可能是单调的如y=x;有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上是减函数，还有的函数是非单调的，如y=c,y=2x{x∈N|1≤x≤5}（1）如果函数y=f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性。区间D叫做y=f(x)的单调区间在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。判断1：函数f(x)=x2在是单调增函数；,xyo2yx判断2：定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1)，则函数f(x)在R上是增函数；（3）a)x1,x2取值的任意性;不能以特素质代替b)必须有大小，一般令c)同属一个单调区间yxO12f(1)f(2)12,xx12xx例1：下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图像说出函数的单调区间以及每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)是减函数，在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。例2.写出单调区间1(1)(0);yxxx1yxy1yx的单调减区间是_____________(,0)(0,),讨论1：1(0)(,0)(0,)yxx能不能说在定义域上是单调减函数?？不能——数形结合的思想要了解某函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用的方法，但这种方法比较粗略。严格地说，它还需要进行证明。（4）若函数f(x)在其定义域内的两个区间A,B上都是增(或减）函数一般不能简单认为f(x)在A∪B上是增（减）函数yoxoyxyox在(-∞,+∞)是减函数在(-∞,0)和(0,+∞)是减函数在增函数在减函数ab2--，,2abyoxyoxyox在(-∞,+∞)是增函数在(-∞,0)和(0,+∞)是增函数在增函数在减函数ab2--，,2ab(0)ykxbk(0)ykxbk1yx1yx2(0)yaxbxca2(0)yaxbxcax1,x2[0，+∞）,且x1x2，则：2121)()(xxxfxf2121xxxx由0≤x1x2得021xx021xx于是f(x1)-f(x2)＜0。即f(x1)＜f(x2)所以函数在区间[0，+∞）上为增函数。xxf)(取值作差变形定号下结论证明:例4证明函数在区间[0，+∞）上为增函数。xxf)(阅读书中例2三．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1取值：x1，x2∈D，且x1x2；2作差：f(x1)－f(x2)；3变形：通常是因式分解和配方；4定号：即判断差f(x1)－f(x2)的正负；5下结论：即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性．返回()fx是定义在R上的单调函数，且的图象过点A（0，2）和B（3，0）（1）解方程（2）解不等式（3）求适合的的取值范围()fx()(1)fxfx(2)(1)fxfx()2()0fxfx或x成果运用,12()4fxxax若二次函数的单调增区间是，则a的取值情况是（）变式1变式2请你说出一个单调减区间是的二次函数,1变式3请你说出一个在上单调递减的函数,1,12()4fxxax若二次函数在区间上单调递增，求a的取值范围。2222aaaaA.B.C.D.()21Ayx2()31Byx2()Cyx2()21Dyxx1010xxxx________成果运用,12()4fxxax若二次函数在区间上单调递增，求a的取值范围。解：二次函数的对称轴为,由图象可知只要，即即可.2()4fxxax2ax12ax2aoxy1xy1o小结1.函数单调性的定义中有哪些关键点？2.判断函数单调性有哪些常用方法？3.你学会了哪些数学思想方法？作业2、证明函数f（x）=-x2在上是减函数。,03、证明函数f（x）=在上是单调递增的。(选做)0,11xx1、教材p391，2，3，44，0，9，32，72，134，（）225数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞;数无形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休;切莫忘,几何代数统一体,永远联系莫分离.——华罗庚判断题：（1）已知f(x)=，因为f(-1)f(2),所以函数f(x)是增函数。（2）若函数f(x)满足f(2)f(3),则函数f(x)在区间[2，3]上为增函数。（3）若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在(1，3)上为增函数。（4）因为函数f(x)=在区间（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数，所以f(x)=在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数。1x1x1x例5：证明函数上是增函数。），在（22)(xxxf2121,2,xxxx，且证明：任取)2()2()()(221121xxxxxfxf)2()21()(2)22(21212121212112212121xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx）（）（）（）（）上是增函数，在（，即，22)()()(0)()(022,02212121212121xxxfxfxfxfxfxxxxxxxx例6：证明函数在R上是增函数。xxxf3)(证明：任取2121,,xxRxx且)()()()(23213121xxxxxfxf则)(213231xxxx）（)()(2122212121xxxxxxxx）（)1)((22212121xxxxxx1432)(2222212121xxxxxxx143)2()(2222121xxxxx例7：证明函数在其定义域内是减函数。xxxf1)(221xx021xx上是增函数。在即）而（Rxxxfxfxfxfxfxxx3212122221)()()(,0)()(01432例7：证明函数在其定义域内是减函数。xxxf1)(2，的定义域为证明：)(xf)1()1()()(),,(,222121212121xxxxxfxfxxfxx且设任意的11)1()1()(11)11()()()(11))(()(11)()11(22212222112122212221212121222121212122212221212221xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx21xx。在其定义域内是减函数即即有，都有对任意又，且xxxfxfxfxfxfxxxxxxxxxxxxRxxxxx1)()()(0)()(01,0101,110110221212222112222222121思考例1（1）如果函数f(x)在区间D上是增函数，函数g(x)在区间D上是增函数。问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为增函数？为什么？12121212121122,,()()()(),()()()()[()()][()()]xxDxxfxDgxDfxfxgxgxFxFxfxgxfxgx且在区间上是增函数，在区间上是增函数)]()([)]()([2121xgxgxfxf)()(,0)]()([)]()([212121xFxFxgxgxfxf即所以函数F(x)=f(x)+g(x)在D上仍为增函数是（2）如果函数f(x)在区间D上是减函数，函数g(x)在区间D上是减函数。问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为减函数？为什么？（3）如果函数f(x)在区间D上是减函数，函数g(x)在区间D上是增函数。问：能否确定函数F(x)=f(x)+g(x)的单调性？反例：f(x)=x在R上是增函数，g(x)=-x在R上是减函数此时F(x)=f(x)+g(x)=x-x=0为常函数，不具有单调性不能是同加，单调性不变例2如果是[m,n]上的减函数，且，是[a,b]上的增函数，求证在[m,n]上也是减函数。gxagxbfxfgx