A3沪科版九年级数学上相似三角形典型例题及练习

1相似三角形的判定一．知识点讲解1.相似三角形的定义（1）相似三角形定义：如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例，我们就称这两个三角形相似。如图所示，ABC与DEF相似,记作“ABC∽DEF”，读作ABC相似于DEF。（2）相似比：相似三角形对应边长度的比叫做相似比。（3）注意：①如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。②相似三角形相似比是有顺序的。③全等三角形是特殊的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。④用字母表示两个三角形相似时，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。2.平行线截三角形相似的定理（1）平行线截三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。（2）数学表达式：BCDE//ABC∽DEF3.相似三角形的判定定理（1）判定定理1：AA文字语言数学语言图形如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（简记为：两角分别相等的两个三角形相似。）//,BBAAABC∽///CBA（2）判定定理2：SAS文字语言数学语言图形如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。（简记为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。）/////,AACAACBAAB且ABC∽///CBA（3）判定定理3：SSS文字语言数学语言图形如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。（简记为：三边成比例的两个三角形相似。）//////CBBCCAACBAABABC∽///CBA（4）判定定理4：HL文字语言数学语言图形如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。（简记为：三边成比例的两个三角形相似。）//////CBBCCAACBAABABC∽///CBA24.相似三角形的基本类型相似三角形的基本类型A字型8字型双垂直型一线三等角型一线三等角型是以等腰三角形或者等边三角形为背景，三个等角的顶点在同一直线上，其中321，可根据641802,541801，得图中两个阴影部分三角形相似。一线三垂直型5.相似三角形判定思路判定思路有平行截线①平行线截三角形相似的定理②用平行线的性质，找等角有一组等角①找另一对等角②找该角的两边对应成比例直角三角形①找一组锐角相等②两组边对应成比例等腰三角形①找顶角相等②一组底角相等③底和腰对应成比例有两组边对应成比例①夹角相等②第三组边也对应成比例③有一组直角3二．考点讲解考点1：利用相似三角形的定义判定两三角形相似1.如图所示，在ABC中，BCDE//.（1）求ABAD,ACAE,BCDE的值；（2）ADE与ABC相似吗？为什么？考点2：利用相似三角形的定义确定相似比2.如图，已知OAC∽OBD,且4OA,2AC,2OB.求：（1）OAC与OBD的相似比；（2）BD的长。变式练习：如图所示，ABC∽ACD,下列式子不成立的是（）A.CDBCACABB.ACABADACC.ABADAC2D.ADACBCAB考点3：利用平行线识别相似三角形3.如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对变式练习：如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对考点4：利用证相似三角形求线段的长4.如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则AC的长为（）A．9cmB．14cmC．15cmD．18cm变式练习：如图，在平行四边形ABCD中，EBAE,2AF，则FC.考点5：利用相似三角形对应边的比相等证明线段成比例5.如图所示，P是平行四边形ABCD的边BC的延长线上一点，AP分别交BD和CD于点M和N.求证：MPMNAM2.变式练习：如图，在梯形ABCD中，CDAB//，且CDAB2,点E，F分别是BCAB,的中点，EF与BD相交于点M.（1）求证：EDM∽FBM;（2）若9DB，求BM的长。考点6：利用两角分别相等证明两三角形相似6.如图所示，在ABC中，AD是BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F。求证：ABF∽CAF.变式练习:如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE=60°．求证：△ADC∽△DEB．考点7：利用相似三角形证明等积式7.如图所示，在ABC中，90BAC,BC的垂直平分线交BC于点D,交AB于E,交CA的延长线于F.求证：DFDEDA2.4变式练习：已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OBOE,连接DE。求证：BEDE；（2）如果CDOE，求证：DECDCEBD.考点8：利用两边对应成比例夹角相等判定两个三角形相似8.如图，在△ABC中，已知AB=AC，D、E、B、C在同一条直线上，且AB2=BD•CE，求证：△ABD∽△ECA．变式练习：如图所示，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且PCBP3,Q是CD的中点。求证：ADQ∽QCP考点9：利用三边对应成比例判定三角形相似9.如图，已知O是△ABC内一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点．求证：△ABC∽△DEF．变式练习：如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．考点10：利用直角三角形相似的判定方法判定两直角三角形相似10.已知在ABCRt与///CBARt中，90/CC,cmAB6，cmAC8.4，cmBA5//，cmCB3//。求证ABC∽///CBA.变式练习：在ABCRt和FEDRt中，90C，10AB,8AC，90D，5EF，当DF时，ABCRt∽FEDRt.三．基础题型讲解基础题型1：添加条件来说明三角形相似1.如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABCC．AB2=AP•ACD．CBACBPAB变式练习:如图，21，添加一个条件，使得ADE∽ACB基础题型2：寻找图形中相似三角形的对数2.如图，在平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC,边AD分别交于点E，F。过点E作BCEG//,交AB于点G，则图中相似三角形有（）A.4对B.5对C.6对D.7对变式练习：如图所示，P为线段AB上一点，AD与BC交于E,BACPD,BC交PD于F,AD交PC于G，则图中相似三角形有（）A.1对B.2对C.3对D.4对基础题型3：相似三角形判定定理的应用53.如图所示，在ABC中，CEBD,是高，（1）求证：ADE∽ABC。（2）若EC与BD交于点O，则OED∽OBC.变式练习：如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．基础题型4：与相似三角形有关的分类讨论题4.如图所示，点P是锐角三角形ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有条。变式练习：如图所示M是ABCRt的斜边BC上异于CB,的一定点，过点M作直线截ABC,使截得的三角形与ABC相似，这样的直线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条基础题型5：相似三角形与函数的综合题5.如图所示，在正方形ABCD中，2AB,P是BC边上与点CB,不重合的任意一点，APDQ于点Q，（1）试说明DAQ∽APB；（2）当点P在BC上运动时，线段DQ也随之变化。设yDQxPA,，求y与x之间的函数表达式。变式练习：如图所示，ABC为正三角形，ED,分别是BCAC,上的点（不在顶点），60BDE.（1）求证：DEC∽BDA;（2）若正三角形的边长为4，并设xDC，yBE，试求y与x之间的函数表达式。四．拔高题型讲解拔高题型1：利用“三点定形法”找相似的三角形解决问题1.已知：如图所示，CD是ABCRt斜边AB上的高，E为CB的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F。求证：DFCBCFAC.拔高题型2:利用相似三角形的知识解决与反比例函数有关的问题2.如图所示，AOB是直角三角形，90AOB，OAOB2，点A在反比例函数xy1的图像上。若点B在反比例函数xky的图像上，则k的值为（）A.-4B.4C.-2D.23．如图，一条直线与反比例函数y＝xk的图象交于A（1，4）、B（4，n）两点，与x轴交于D点，AC⊥x轴，垂足为C．（1）如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n的值及D点坐标；（2）如图乙，若点E在线段AD上运动，连接CE，作∠CEF=45°，EF交AC于F点．①试说明△CDE∽△EAF；②当△ECF为等腰三角形时，直接写出F点坐标．6拔高题型3：利用相似三角形的判定和定义建立函数关系4.如图所示，在矩形ABCD中，mAB，8BC，E为线段BC上的动点（不与点CB,重合），连接DE,过点E作DEEF,EF与线段BA交于点F，设xCE，yBF。（1）写出y关于x的函数表达式；（2）若8m，当x为何值时，y的值最大？最大值是多少？拔高题型4：利用相似三角形的定义进行规律探究5.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当t为何值时，△CPQ与△CBA相似？6.如图所示，已知AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6，CD=4，BD=k，点P在BD上移动，保持∠APC=90,但不与点B和点D重合。（1）当k=14时，请问在BD上存在多少个P点，使以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似？并求BP的长．（2）已知在BD上至少存在一个P点，使以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似，求k的取值范围．7.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．拔尖题型5：和相似有关的存在型问题8.如图所示，在ABC中，已知5ACAB,6BC，且ABC≌DEF,将DEF与ABC重合在一起，ABC不动，DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于点M.（1）求证：ABE∽ECM；（2）在DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由。7拔尖题型6：相似三角形与折叠问题9.如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE．过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ．（1）求证：△PBE∽△QAB；（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明