双曲线经典例题

习题精选精讲-1--1-本文来自整理、【例1】若椭圆0122nmnymx与双曲线221xyab)0(ba有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是（）A.amB.am21C.22amD.am【解析】椭圆的长半轴为1221mPFPFm，双曲线的实半轴为1222aPFPFa，2212121244PFPFmaPFPFma：，故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.【例2】已知双曲线127922yx与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，使PMPF21最小，则P点的坐标为【分析】待求式中的12是什么？是双曲线离心率的倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F（6，0），离心率2e，右准线为32lx：.作MNl于N，交双曲线右支于P，连FP，则122PFePNPNPNPF.此时PM1375225PFPMPNMN为最小.在127922yx中，令3y，得21223.xxx0，取23x.所求P点的坐标为233（，）.（2）渐近线——双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例3】过点（1，3）且渐近线为xy21的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为2214xyk点（1，3）代入：135944k.代入（1）：22223541443535xyxy即为所求.【评注】在双曲线22221xyab中，令222200xyxyabab即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222xykab，而无须考虑其实、虚轴的位置.XYOF(6,0)M(5,3)PNP′N′X=32习题精选精讲-2--2-（3）共轭双曲线——虚、实易位的孪生弟兄将双曲线22221xyab的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：22221xyba.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【例4】两共轭双曲线的离心率分别为21,ee，证明：221211ee=1.【证明】双曲线22221xyab的离心率22221122ccabeeaaa；双曲线22221xyba的离心率22222222ccabeebbb.∴2222222212111abeeabab.（4）等轴双曲线——和谐对称与圆同美实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.【例5】设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角.【证明】如图设等轴双曲线方程为2221xya，直线CD：y=m.代入（1）：22xxm.故有：2222,,,CxmmDxmm.取双曲线右顶点,0Ba.那么：2222,,,BCxmamBDxmam22220,BCBDaammBCBD.即∠CBD=90°.同理可证：∠CAD=90°.●通法特法妙法（1）方程法——为解析几何正名解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.【例6】如图，1F和2F分别是双曲线)0,0(12222babyax的两个焦点，A和B是以O为圆心，以1FO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ABF2是等边三角形，则双曲线的离心率为（）（A）3（B）5（C）25（D）31XOYCDAB习题精选精讲-3--3-【解析1】设AB交x轴于M，并设双曲线半焦距为c，∵△ABF2是等边三角形，∴3,.22cOMMAc点3,22cAc代入双曲线方程：2222222222222233444cbacabccaacaca.化简得：422442284084042331cacaeeee.（∵e＞1，∴2423e及31e舍去）故选D.【解析2】连AF1，则△AF1F2为直角三角形，且斜边F1F2之长为2c.令1122,.AFrAFr由直角三角形性质知：211221221222rrarcracrcrr.∵222222222124,24220220rrcacccaaccee.∵e﹥1，∴取31e.选D.【评注】即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段.（2）转换法——为解题化归立意【例7】直线l过双曲线12222byax的右焦点，斜率k=2.若l与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是（）A.e2B.1e3C.1e5D.e5【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握，但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与之相交.故有如下妙解.【解析】如图设直线l的倾斜角为α，双曲线渐近线m的倾斜角为β.显然。当β＞α时直线l与双曲线的两个交点分别在左右两支上.由2222tantan245bcaeaa.∵双曲线中1e，故取e5.选D.（3）几何法——使数形结合带上灵性【例8】设P为双曲线22112yx上的一点，12FF，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PFPF，则12PFF△的面积为XYOFl习题精选精讲-4--4-（）A．63B．12C.123D．24【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：1,23,13abc.设；12123,2.22,2.PFrPFrPFPFar于是2221212126,4.52PFPFPFPFFF，故知△PF1F2是直角三角形，∠F1PF2=90°.∴121211641222PFFSPFPF.选B.【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处.（4）设而不求——与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：【例9】双曲线122yx的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）A.12xyB.22xyC.32xyD.32xy【解析】设弦的两端分别为1,12,2,AxyBxy.则有：222222111212121222121222101xyyyxxxxyyxxyyxy.∵弦中点为（2，1），∴121242xxyy.故直线的斜率121212122yyxxkxxyy.则所求直线方程为：12223yxyx，故选C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：【例10】在双曲线1222yx上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：22111212121222221112011212xyxxxxyyyyxy.∵M（1，1）为弦AB的中点，XYOF1F2P2r习题精选精讲-5--5-∴1212121212122022ABxxyyxxyykyyxx代入1：2，故存在符合条件的直线AB，其方程为：12121yxyx，即.这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：其一：将点M（1，1）代入方程1222yx，发现左式=1-1122＜1，故点M（1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB的斜率2ABk，而双曲线的渐近线为2yx.这里22，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由222221221224302221yxxxxxyx这里16240，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.此外，上述解法还疏忽了一点：只有当12xx时才可能求出k=2.若12120xxy，必有y.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.结论；不存在符合题设条件的直线.（5）设参消参——换元自如地阔天宽一道难度较大的解析几何综合题，往往牵涉到多个变量.要从中理出头绪，不能不恰当地处理那些非主要的变量，这就要用到参数法，先设参，再消参.【例11】如图，点F为双曲线C的左焦点，左准线l交x轴于点Q，点P是l上的一点，已知1||||FQPQ，且线段PF的中点M在双曲线C的左支上.（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若过点F的直线m与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点，设FAFB，当),6[时，求直线m的斜率k的取值范围.【分析】第（Ⅰ）问中，线段PF的中点M的坐标是主要变量，其它都是辅助变量.注意到点M是直角三角形斜边的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向第（Ⅱ）中，直线m的斜率k是主要变量，其它包括λ都是辅助变量.斜率k的几何意义是有关直线倾斜角θ的正切，所以设置直线m的参数方程，而后将参数λ用θ的三角式表示，是一个不错的选择.【解析】（Ⅰ）设所求双曲线为：22221xyab.其左焦点为F（-c。0）；左准线：2axc.由||1PQ，得P（2ac，1）；由222||111.1abFQcbcccFP的中点为221,2caMc.代入双曲线方程：222221144cacac2222224caacca2222422caacbacAyxOMFPQBml习题精选精讲-6--6-根据（1）与（2）222,12acabcc.所求双曲线方程为222xy.（Ⅱ）设直线m的参数方程为：2cossinxtyt.代入222xy得：22cossin2cos24cos203tttt当22cos2016cos82cos180时，，方程（3）总有相异二实根，设为1212124coscos2.42cos2tttttt，那么.已知直线m与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点，∴FBFA与同向，210tFBtFA故，.于是：22212212112121212tttttttttttt.注意到1在),6[上是增函数，221212121214926566tttttttt（4）代入（5）：22224cos264948cos492cos150cos49cos2cos22250111