武汉大学2010-2012概率论与数理统计D期末试题及答案2套

武汉大学2010-2011第一学期概率论与数理统计D期末试题（A卷）（36学时）1、（12分）若1()()()4pApBpC，()()0PABPBC，1()8PAC。⑴求,,ABC三个事件中至少出现一个的概率。⑵求()pCAB。2、（12分）设工厂A和B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求它是A生产的概率。3、（14分）若随机变量X的概率密度2()0xfx01x其他，记A为事件12X；对随机变量X进行4次观测，以Y表示事件A出现的次数；⑴()pA；⑵求(2)pY。4、（14分）若随机变量,XY的联合概率密度为2,0,0,0,xyAexyfxy其它，（1）求A的值？（2）求,XYfxfy；（3）随机变量X与Y是否独立？（4）求ZXY的密度。5、（12分）设某种商品每周的需求量X是服从区间10,30上均匀分布的随机变量，而经销商进货数量Y为区间10,30中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每单位仅获利300元。为使商店所获利润期望值不少于9280，试确定最小进货量。6、（12分）若随机变量,XY在2:01,Dxxyx上服从均匀分布，求X与Y的相关系数xy。7、（12分）某厂生产的钉子的不合格率为0.01。问一盒钉子中至少要装多少个才能保证其中有100只合格品的概率不少于0.95？（已知(1.65)0.95）8、（12分）若随机变量,XY独立而且服从二项分布(2,0.5)B，(,),(,)MMaxXYNMinXY。求(,)MN的联合分布及ZXY的分布律。武汉大学2011-2012第一学期《概率论与数理统计D》期末试题A（36学时）一、（12分）若A、B为两独立事件，()0.5,()0.4PAPB求：⑴()PAB；⑵(()())PABAB。二、（12分）某车间的零件来自甲、乙、丙三厂，其各占比例为5：3：2，合格率分别为0.9、0.8、0.75；现从中任取一件，若它是合格品，求它来自甲厂的概率。三、（12分）若10000件产品中优等品的概率为0.2。求：（1）试用切比雪夫不等式估计其中优等品数量介于1800~2200之间的概率。（2）从中任取5件，以X表示其中优等品的个数。写出X的分布律。四、（14分）若随机变量(,)XY的联合概率密度为(,)0xyfxy1,01xy其他；（1）求随机变量X和Y的边缘概率密度();()xyfxfy；（2）X和Y是否独立？（3）求ZXY的概率密度五、（14分）设n个随机变量12,,...,nXXX相互独立且服从[0,]上的均匀分布，试求12max{,,...,}nMXXX的概率分布，并计算M的期望和方差。六、（12分）某单位有300部电话，每部电话约有4%的时间要使用外线。假设每部电话是否使用外线通话是相互独立的，问该单位至少需要安装多少条外线，才能保证外线畅通的概率不少于0.95？（已知(1.65)0.95）七、（12分）若随机变量(,)XY在区域22:1Dxy上服从均匀分布，求它们的的相关系数。八、（12分）某商店经销某商品，已知销售量和进货量相互独立，且均在(50,100)上服从均匀分布。若每销售1单位获利500元，且需求量大于进货量时可以从其他部门调剂，此时每单位获利300元；如果有积压，则每单位亏损200元。求平均利润。武汉大学2010-2011第一学期概率论与数理统计D期末试题答案1、解：（1）P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(B)P(C)-P(C)P(A)+P(A)+P(B)P(B)P(C)=85（2）P(C|A∪B)=P(C∩(A∪B))/P(A∪B)=(1/8)/(1/4+1/4)=1/42、解：73%2%40%1%60%1%60)()()(次品生产且次品生产PAPAP3、解：（1）P(A)=210412xdx；（2）P(Y=2)=12827)43()41(2224C4、解：（1）由概率的归一化条件的性质：121][00)2(AdydxAeyx，得A=2；（2）xyxXedyeedyyxfxf0022),()(；02)2(22)(yyxXedyexf（3）因为),(2)()()2(yxfeyfxfyxYX；所以变量X与Y独立（4）利用积分转化法有：0200)(0)(00)2(2)(][)(2]2)([]2)([]2)([dzezhdzdyeezhdzdyezhdydzezhdydxeyxhzzyzzyzyyzyx所以Z=X+Y的密度：zZezf22)(5、解：讨论当X≥Y时，利润是W1=500Y+300(X-Y)=300X+200Y；当XY时，有利润W2=500X-100(Y-X)=600X-100Y。理论上利润的期望21)()(WYXPWYXPW=)100600(2010)200300(2030YXYYXY,代入X=E(X)=20得：W=-152Y-650Y+3000928014.5Y28.8；所以进货量的最小值是15单位。6、解：首先确定xyxxdxdyyxfxx210,10,6][1),(2；E(X)=21]6[102dxdyxxx；E(X2)=103]6[1022dxdyxxx；E(Y)=52]6[10dydxyyyE(Y2)=143]6[102dydxyyy；E(XY)=41]6[102dxdyxyxx从而可以得到：201)()()(),(YEXEXYEYXCov；201)()()(22XEXEXD35019)()()(22YEYEYD；9597.0381330)()(),(YDXDYXCov7、解：至少要装103个。（详细请参考课本P195例5.2.5）8、解：X,Y分布率为：M、N的联合分布率为：Z=X+Y的分布律：武汉大学2011-2012概率论与数理统计D(第一学期)期末试卷答案一、解：(1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.5+0.4-0.5×0.4=0.7(2)P((A-B)|(A+B))=P((A-B)∩(A+B))/P(A+B)=[P(A)-P(A)P(B)]/P(A+B)=0.3/0.7=3/7二、解：2815)5.14.25.4(5.4]75.0)2352(8.0)2353(9.0)2355/[(9.0)2355())/P(P(P合格合格且来自甲厂三、解：(1)由切比雪夫不等式可知：96.04000016001)(D-1)200|)((|16002.0)2.01(10000)(200,2000)(2XXEXPXDXE所以因为：四、解：（1）elseyydxyxdyyxfyfelsexxdyyxdyyxfxfYX,0)10(,21)(),()(,0)10(,21)(),()(10101010不独立；所以因为YXyxfyxyfxfYX,),,()21)(21()()()2(X\Y0120161811611814181216181161M\N01201610014141028141161Z01234P(Z)161418341161elsezzzzzzzfdzzzzhdzzzzhzddxzxzhzddxzxzhxddzzxxzhxddyyxfyxhZzzxx,010,101,1)()1)(()1)((])2)((])2)(([]))(([]),()([32210201210101101011010所以）（五、解:1)(]')[()()()(1nnMnMmnmmfmmF222220220)1)(2()()()(2)()(1)()(nnnMEMEMDnndmmmfMEnnmdmmfME六、解：根据n重伯努利实验部电话使用外线通话，第部电话使用外线通话第k0k,1kX，则3001kkAXn表示同时使用外线电话的总数。P=P(X1k)=0.04,np=12,np(1-p)=11.52,即求最小值m，使得：,95.0)(mnPAAccordingtoDeMoivre-Laplacelimittheorem,wehave：)(mnPA=95.0)52.1112(m,即：65.152.1112m，m≥17.61取m=18，即至少要安装18条外线才能保证95%把握外线畅通。七、解：先求分布函数如下：elseyxdSyxfDD,01,1111),(22；再求得：41]),([)(0]),([)(11112211112222dxdyyxfxxEdxdyyxxfxExxxx；41]),([)(0]),([)(11112211112222dydxyxfyyEdydxyxyfyEyyyy；0)()()()()()()(),(41)()()(41)()()(0]),([)(2222111122YDXDYEXEXYEYDXDYXCovyEyEYDxExEXDdydxyxxyfxyExyyy；八、解：设进货量为X（单位），销售量为Y（单位），有elseyxyfxfyxf,010050,10050,25001)()(),(YXXYYXXYYXXYYYXYYX,300800,200700),(300500,500)(200利润：平均利润：492501231250251])35044()2502727([251]),()300800([]),()200700([)(1005022100502210050501005050dyyydxxxdydxyxfxydxdyyxfxyEyx