概-率-论-与-数-理-统-计-试-题及答案

考试时间120分钟班级姓名学号题号一二(1)二(2)二(3)二(4)二(5)三四五总分成绩一.填空题（每题3分，共24分）1．设A、B为随机事件，P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8.则P(B)A.2.三人独立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1/5、1/4、1/3，此密码能被译出的概率是=.3.设随机变量2(,)X，XYe，则Y的分布密度函数为.4.设随机变量2(,)X，且二次方程240yyX无实根的概率等于0.5，则.5.设()16,()25DXDY，0.3XY，则()DXY=.6.掷硬币n次，正面出现次数的数学期望为.7.某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是0.1两.则100个该型号螺丝钉重量不超过10.2斤的概率近似为（答案用标准正态分布函数表示）.8.设125,,XXX是来自总体(0,1)X的简单随机样本，统计量22212345()/~()CXXXXXtn，则常数C=,自由度n.二计算题（共50分）1.（10分）设袋中有m只正品硬币，n只次品硬币(次品硬币的两面均有国徽)，从袋中任取一只硬币，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率是多少？成绩评卷人成绩评卷人2.（10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）X服从指数分布，其概率密度函数为/5(1/5)0()0xexfx其它某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开.他一个月到银行5次.以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求{1}PY.3.（10分）设二维随机变量(,)XY在边长为a的正方形内服从均匀分布，该正方形的对角线为坐标轴，求：(1)求随机变量X,Y的边缘概率密度；(2)求条件概率密度|(|)XYfxy..4.（10分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从2(160,20)分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.成绩评卷人成绩评卷人成绩评卷人5.（10分）某车间生产的圆盘其直径在区间(,)ab服从均匀分布,试求圆盘面积的数学期望.三.（10分）设12,,nXXX是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为1,(;,)0,xexfx其它其中,0是未知参数，12,,,nxxx是一组样本值，求：（1）,的矩法估计；（2）,的极大似然估计.成绩评卷人成绩评卷人四.（8分）假设ˆ是的无偏估计，且有ˆ()0D试证2ˆ2ˆ()不是2的无偏估计.五.（8分）设112,,,nXXX是来自总体211~(,)XN的一组样本，212,,,nYYY是来自总体222~(,)YN的一组样本，两组样本独立.其样本方差分别为2212,SS，且设221212,,,均为未知.欲检验假设22012:H，22112:H，显著性水平事先给定.试构造适当检验统计量并给出拒绝域（临界点由分位点给出）.评分标准一：填空题:(每小题3分)1.0.7;2.0.6;3.221/(2).exp{1/(2).[ln]}0yyy;4.4;5.53;6.n/2;7.(2);8.3/2,3.二：计算题1.解：记A:取得正品硬币；B：投掷r次，每次都得到国徽；取{,}AA作为样本空间的划分.(|)(|)()/[(|)()(|)()PABPBAPAPBAPAPBAPA1.212.2rrrmmmnmnmnmnmn成绩评卷人成绩评卷人2.解：某一次在窗口等待时间超过10分钟的概率记为P，(/5)210(1/5)xPedxe注意到顾客每月到银行五次也就是进行了五重的贝努利试验，每次试验得不到服务的概率为2e.所以2~(5,)YBe，即2255{}()(1)0,1,,5kkkPYkCeek25{1}1{0}1(1)PYPye3.解：(1)/2||22/2||21/(/2||)||/2()(,)0axaxXadyaxxafxfxydya其它由对称性/2||22/2||21/(/2||)||/2()(,)0ayayYadxayyafyfxydxa其它(2)当||/2ya时，有xy/2a/2a||/2yxa||/2yxa|1||/2(,)(|)22||()0XYYxayfxyfxyayfy其它4.解：记取出的四只电子管寿命分别为1234,,,XXXX，所求概率为P，则1234{min(,,,)180}PPXXXX44{180}[1{180}]1,2,3,4iiPXPXi4[1(1)]0.000635.解：记圆盘面积为S，圆盘直径为R，则2(1/4)SR，由随机变量函数的数学期望的计算方法有2()(1/4)(1/)baESrbadr22(/12)()baba三：解：（1）矩法估计量()()||xxxxxEXxfxdxedxxeedxe2222222()()|22()()xxxxEXxfxdxedxxexedx令2222()()()()EXXEXA解之得,的矩法估计量:22ˆ,XAX22ˆAX（2）极大似然估计1111(,)exp{()}min{,,}ninniLxnxx111lnln()min{,,}niniLnxnxxlnLn0,故lnL是的递增函数，故1ˆmin{,}nxx由ln0L得1ˆmin{,,}nxxx，所以极大似然估计量为1ˆmin{,}nXX，1ˆmin{,,}nXXX四：证明：由方差的计算公式有：2ˆ()E2ˆ[()]Eˆ()D2ˆ[()]E，再由ˆ是的无偏估计可得：2ˆ()E2ˆ()D易见当ˆ()0D时，2ˆ2ˆ()不是2的无偏估计.五：构造检验统计量2122SFS，当0H为真时，211222~(1,1)SFFnnS,当0H不真而1H为真时，由2222111122222222/./SSFSS，即一个12(1,1)Fnn的统计量乘以一个小于1的数，2122SFS有偏小的趋势.所以当2122SFS偏小时我们拒绝0H而接受1H，拒绝域的形式是:2122SFKS.由0H为真时211222~(1,1)SFFnnS确定常数K，得拒绝域为：2111222(1,1)SFFnnS.