二维场的数值计算实验报告

二维场的数值计算实验报告一．实验目的通过采用两种不同的计算方法，上机计算二维场的电位分布，了解数值法与解析法的优缺点和区别，掌握超松弛迭代方法。二．实验内容1.根据分离变量法求得的二维场的用级数表示的解，编写程序，上机计算二维场中各点的电位；2.根据有限差分法原理，编写超松弛迭代法程序，上机计算二维场中各点的电位。三．实验题目如图所示横截面为矩形的无限长直导体槽，内填空气。已知12340,,,0,yVayVxVxbV1．根据分离变量法求得的二维场的用级数表示的解，编写程序，上机计算二维场中各点的电位；2．根据有限差分法原理，编写超松弛迭代法程序，上机计算二维场中各点的电位。四．实验设计过程1.分离变量法：在利用解析法求解边界问题时，一般都是利用麦克斯韦方程，在已知边界值的情况下，结合条件球场电位函数。结果是一个复杂的级数函数表达式。虽然不能具体体现场的分布，但可以清楚地算出场中的每一个数值，非常的精确。根据上述题目，电位分布与z轴无关，并且槽内点电荷密度0，由此可以知道其满足的拉普拉斯方程及边界条件如下：02222yx，0,0xyx，0,axyx，0,0yyx，3,Vyxby通过对第一个方程进行分离变量法得到方程的通解为：ykDykDxkCxkCyxyyxxcoshsinhcossin,2121yboax再将后四个方程边界条件代入求得电位函数：xanyanbannVyxnsinsinhsinh14,13，n为奇数2.有限差分法有限差分法与分离变量法的最主要区别是对于（1）中的拉普拉斯方程进行近似计算，将场域划分为网格节点，将网格节点电位作为未知数的差分近似替代该点的偏导数，从而把待求得偏微分方程的边值问题转化为一组相应的差分方程问题。最后利用超松弛迭代法计算出数值。在题目中，由于点电荷密度为0，则拉普拉斯方程的有限差分方程形式为jijijijiji,1,11,1,,41具体步骤如下：1.网格设置2.区域设置3.设置边界条件4.应用模式设置选择（静电学）5.方程参数设定五．实验程序先假设4321VVVV、、、的数值分别为0，0，100V，0，a和b的数值为10和5cm。1.分离变量法：cleara=0;[X,Y]=meshgrid(0:0.05:2,2:0.05:4);forn=1b=4*100/pi;a=b*sinh(n*pi*Y/2).*sin(n*pi*X/2)./n*sinh(n*pi*4/2);a=a+a;enda=a;figurecontour(a,20);2.有限差分法：clearhx=40;hy=40;v1=ones(hy,hx);v1(hy,:)=ones(1,hx)*100;v1(1,:)=zeros(1,hx);fori=1:hyv1(i,1)=0;v1(i,hx)=0;endv2=v1;maxt=1;t=0;k=0while(maxt1e-9)k=k+1;maxt=0;fori=2:hy-1forj=2:hx-1v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1))/4;t=abs(v2(i,j)-v1(i,j));if(tmaxt)maxt=t;endendendv1=v2;endcontour(v2,20)holdonx=1:1:hx;y=1:1:hy;[Gx,Gy]=gradient(-v2,10,10);quiver(xx,yy,Gx,Gy,8,'r')holdoff六．实验结果1.分离变量法实验图形2.有限差分法实验图形七．实验结果分析比较和总结对比上述两种方法求解思路以及所得到的实验图形可知，虽然它们的解题思路不同，但是在通过程序进行画图后，他们的电位分布图是一样的，都无一例外地真实准确地展示了静态场的电位分布。但是，他们也有不同的地方，分离变量法求得的是函数，然后通过离散来展示场的分布；而有限差分法得到的解本身是离散的，通过编程不断迭代来得到数值以接近分离变量法得到的函数。求解静态场分布的方法是多样的，但最终借助于MATLAB这个程序使我们的结果趋于一致，可见我们求解问题并不一定只局限于一个方法，多样的方法最终都会走向一个结果，我们需要综合这些方法，在其中摸索发现，以期有更好的前进。