指派问题的算法

1指派问题的算法分析与实现摘要在企业、公司的运营与管理中，管理者总是希望把人员最佳分派以发挥其最大工作效率，从而降低成本、提高效益。然而，如果没有科学的方法是很难实现优化管理的，由此我们引入了指派问题。指派问题多是求项目的工时最少，而很多情况下人们并不关心项目总工时的多少，而只关心项目能否在最短的时间内完成，即历时最少的指派问题。这类问题研究的是n个人执行n项任务，执行每项任务的人数以及总的指派人项数均有限制，要求最优指派。在运筹学中求解整数规划的指派问题通常是通过匈牙利算法来求解，但指派问题也可以归结为一个0-1整数规划问题，本文先对指派问题进行陈述，引出对实际问题的求解。在指派问题的背景、描述中充分理解该问题，先运用匈牙利算法实现指派问题，然后再建立一个0-1整数规划模型，并运用matlab和lingo编译程序对问题进行编译，运用软件解决模型问题，最终实现指派问题在实际问题中的运用。通过运用匈牙利算法和0-1整数规划同时对指派问题求解，我们发现用0-1整数规划的方法来求解可以更简单，也更方便程序的阅读和理解。与此同时，我们还对0-1整数规划问题由整数数据深入研究到小数数据。最后通过实例来说明运用matlab，lingo编译程序来解决整数规划问题的简便和有效性。关键词：指派问题；匈牙利算法；0-1整数规划；matlab模型；lingo模型1.问题陈述指派问题又称分配问题，其用途非常广泛，比如某公司指派n个人去做n件事，各人做不同的事，如何安排人员使得总费用最少？若考虑每个职工对工作效率（如熟练程度等），怎样安排会使总销量达到最大？这些都是一个企业经营2管理者必须考虑的问题，所以该问题有重要的应用价值。假设有n件工作分派给n个人来做，每项工作只能由一人来做，每个人只能做一项工作。若给出各人对各项工作所具有的工作效率。问应该如何安排人选，及发挥个人特长又能使总的效率最大。为此用0-1整数规划来实现指派问题即如何安排人选。2.背景在现实生活中，有各种性质的指派问题（AssignmentProblem）。例如，在生产管理中，总希望把人员进行最佳分配，以发挥最大的工作效率；某部门有n项任务要完成，而该部门正好有n个人可以分别去完成其中任何一项，但由于任务性质和个人的专长不同，因此各人完成各项不同任务的效益（所费时间或所花费用）也有差别，如果分配每个人完成一项任务且仅为一项任务，则把每项任务分配给哪个人去完成，使完成所有n项任务的总效益为最高（总时间、总费用为最小或创造的价值最大）？这是典型的分配问题或指派问题。又如有n项加工任务，怎样指定n台机器分别去完成，以使总的加工时间最少或总收入最大；有n条航线，怎样指定n艘船分别航行，使总收入最大，等等，都属于指派问题。3.指派问题的描述3.1指派问题的一般形式指派问题的标准形式（以人和事为例）如下。有n个人和n项任务，已知第i个人做第j件事的费用为ijc，要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，使完成这n项任务的费用最少。一般把目标函数的系数写为矩阵形式，称矩阵nnnnnnnnijccccccccccC..................)(212222111211为系数矩阵（CoefficientMatrix），也称为效益矩阵或价值矩阵。矩阵的元3素ijc（i,j=1,2,…n）表示分配第i个人去完成第j项任务时的效益。一般地，以ijx表示给定的资源分配用于给定活动时的有关效益（时间，费用，价值等），且njxij,...,2,1i,ji,1ji,0，项活动单位资源用于第分配第项活动单位资源用于第不分配第3.2问题的数学模型一般形式1111minmax(1)..1,1,2,...,(2)1,1,2,...,(3)01,,1,2,...,(4)nnijijijnijjnijiijzcxstxinxjnxijn（）或在模型中，约束条件式（2）表示每个人只能做一件事，约束条件式（3）表示每件事只能由一个人去做。对于问题的每个可行解，可用解矩阵来表示：nnnnnnnnijxxxxxxxxxx..................)(X212222111211当然，作为可行解，矩阵的每列元素中都有且只有一个1，以满足约束条件式（3）。每行元素中也有且只有一个1，以满足约束条件（2）。指派问题n!个可行解。3.3目标函数极大化的指派问题求解11maxnnijijijzcx时，我们将构造一个新的矩阵ijc，使ijijcMc，其中M是一个足够大的常数。一般取ijc中最大的元素作为M，求解11minnnijijijzMcx，所得的解ijx就是原问题的解。事实上，由41111111111MMnnnnnijijijijijijnnnnijijijijijnnijijijcxMcxxcxcx可的此结论。4．指派问题实现4.1匈牙利算法4.1.1匈牙利算法的理论基础定理1如果从分配问题的效率矩阵[ija]的每一行元素中分别减去（或加上）一个常数iu，从每一列中分别减去（或加上）一个常数jv，得到一个新的效率矩阵[ijb]，则以[ijb]为效率矩阵的分配问题与以[ija]为效率矩阵的分配问题具有相同的最优解。定理2若矩阵A的元素可以分为‘0’与‘非0’的两部分，则覆盖‘0’元素最少直线数等于位于不同行不同列的‘0’元素的最大个数。4.1.2匈牙利算法的实现步骤第一步：找出矩阵每行的最小元素，分别从每行中减去这个最小元素；第二步：再找去矩阵每列的最小元素，分别从各列减去这个最小元素；第三步：经过这两步变换后，矩阵的每行每列至少都有了一个零元素，接着根据以下准则进行试指派，找出覆盖上面矩阵中所有零元素至少需要多少条直线；（1）从第一行开始，若该行只有一个零元素打上（）号。对打（）号零元素所在列划一条直线。若该行没有零元素或有两个以上零元素（已划去的不计在内），则转下一行，一直到最后一行为止；（2）从第一列开始，若该列只有一个零元素就对这个零元素打上（）号（同样不考虑已划去的零元素），对打（）号零元素所在行划一条直线。若该列没有零元素或还有两个以上零元素，则转下一列，并进行到最后一列；（3）重复（1）、（2）两个步骤，可能出现三种情况：5①矩阵每行都有一个打（）号零元素，很显然，按照上述步骤得到的打（）的零元素都位于不同行不同列，因此就找到了问题的答案；②有多于两行或两列存在两个以上零元素，即出现了零元素的闭回路，这个时候可顺着闭回路的走向，对每个间隔的零元素打上（）号，然后对所有打（）号零元素或所有列或所在行划一条直线。③矩阵中所有零元素或打上（）号，或被划去，但打（）号零元素个数小于m。第四步：为了设法使每行都有一个打（）的零元素，就要继续对矩阵进行变换；（1）从矩阵未被直线覆盖的元素找出最小元素k；（2）对矩阵的每行，当该行有直线覆盖时，令iu=0，无直线覆盖的，令iu=k；（3）对矩阵的每列，当该列有直线覆盖时，令jv=-k，无直线覆盖的，令jv=0；（4）得列一个变换后的矩阵，其中每个元素ijb=ija-iu-jv。第五步：回到第三步，反复进行，一直到矩阵中每一行都有一个打（）的零元素为止，即找到最优分配方案为止。4.1.3匈牙利算法实现指派问题为了便于对模型进行求解与分析，假设有4件事4个人去做，各变量对应的数据假设如表1。表1每个人完成各项任务需要的时间人任务ABCD甲25293142乙39382620丙34272840丁24423623用匈牙利算法求解过程如下：Min62427202523364224402827342026383942312925→0131911310706181917640→013191131)0(7)0(618191764)0(1111→4044012191130)0(7)0(518191754)0(→-1-1-1-4-4101108151170)0(11)0(114191714)0(→)0(7141180)0(120)0(13191703)0(-1-1所以最优解为x11，x23，x32，x44，即甲负责任务A，乙负责任务C，丙负责任务B，丁负责任务D，可以使总花费时间最少。代入求出目标函数值Z=25+26+27+23=101。4.20-1整数规划0-1规划（0-1Programming）一种特殊形式的整数规划。这种规划的决策变量仅取值0或1，故称为0-1变量或二进制变量，因为一个非负整数都可以用二进制记数法用若干个0-1变量表示。0-1变量可以数量化地描述诸如开与关、取与弃、有与无等现象所反映的离散变量间的逻辑关系、顺序关系以及互斥的约束条件，因此0-1规划非常适合描述和解决如线路设计、工厂选址、生产计划安排、旅行购物、背包问题、人员安排、代码选取、可靠性等人们所关心的多种问题。实际上，凡是有界变量的整数规划都可以转化为0-1规划来处理。当然也包括运筹学中的指派问题。4.2.1模型假设为了便于对模型进行求解与分析，假设有4件事4个人去做，各变量对应的7数据假设如表1。表1每个人完成各项任务需要的时间人任务ABCD甲25293142乙39382620丙34272840丁24423623表2变量假设i第i个人j第j项任务ijx第i个人分配第j项任务ijx=1第i个人被分配去做第j项任务ijx=0第i个人不被分配到第j项任务4.2.2模型建立根据前面的假设，因此，每个人只完成一项任务的约束条件为：111144434241343332312423222114131211xxxxxxxxxxxxxxxx每项任务必有一个人负责的约束条件为：111144342414433323134232221241312111xxxxxxxxxxxxxxxx由此，建立的数学模型为：11121314212223243132333441424344min25293142393826203427284024423623zxxxxxxxxxxxxxxxx8s.t.111144434241343332312423222114131211xxxxxxxxxxxxxxxx111144342414433323134232221241312111xxxxxxxxxxxxxxxx0ijx或1，i，j=1，2，3，44.2.3模型求解用matlab求解根据上面建立的模型，代入相应的数据，利用matlab软件编程求解，具体程序如下：function[y,fval]=minzp(C)%y为最佳匹配矩阵，fval为目标函数值，C为目标函数系数矩阵C=C';f=C(:);[m,n]=size(C);Aeq=zeros(2*n,n*n);%生成2*n行n*n列的等式约束0系数矩阵fori=1:nAeq(1:n,1+(i-1)*n:i*n)=eye(n,n);%eye表示生成n阶单位阵endfori=1:nAeq(n+i,1+(i-1)*n:i*n)=ones(1,n);%生成1行n列元素为1的向量endbeq=ones(2*n,1);%生成2*n行1列元素为1的等式约束右端项lb=zeros(n*n,1);%生成n*n行1列元素为0的不等式约束左端项ub=ones(n*n,1);%生成n*n行1列元素为1的不等式约束右端项x=linprog(f,[],[],Aeq,beq,lb,ub);%求目标函数达到极小值的x值y=reshape(x,n,n);%将上式求出的x值组成的向量变成n阶矩阵y=y';y