基本不等式课件1

这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？ADCBHFGEab22ba22ba1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的面积和S’=＿＿ab2３、S与S’有什么样的不等关系？探究１：S_____S′问：那么它们有相等的情况吗？ADBCEFGHba22ab重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab思考：你能给出不等式的证明吗？abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以≥222.abab所以≥时当ba时当ba222abab≥证明：（作差法）2)(ba结论：一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立222abab≥文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍.适用范围：a,b∈R0,0,,,,ababab如果我们用分别代替可得到什么结论？0,0,,,,ababab如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab≥2abab≥替换后得到：即：)0,0(ba2abab≥即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？2abab≥证明：要证只要证_______ab≥①要证①，只要证_____0ab≥②要证②，只要证2(______)0≥③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.分析法22(0,0,(),())abaabb2abab≥)0,0(ba证明不等式：2ab2abba特别地，若a0，b0，则_____2abab≥通常我们把上式写作：(0,0)2ababab≤当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；2abab文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a0,b0你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?Rt△ACD∽Rt△DCB，BCDC所以DCAC2DCBCACab所以ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______2abab你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______2abab③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD＞≥如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.2abab≥几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab适用范围文字叙述“=”成立条件222abab≥2abab≥a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra0,b0填表比较：注意从不同角度认识基本不等式例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：如图设BC=x，CD=y，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.2xyxy≥210020,xy≥2()40xy≥当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.xy此时x=y=10.x=yABDC1001010xyxxyy解，可得若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_______.2P22≥xyxyP例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x，CD=y，则2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为xym22xyxy≤得xy≤81当且仅当x=y时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m21892即x=y=9xyABDC若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_______；214S21422≤≤xySxyxyS①各项皆为正数；②和或积为定值；③注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=Sxy≤S2(当且仅当x=y时,取“=”号).14变式：如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x，CD=y，则篱笆的长为矩形花园的面积为xym2xyABDC22xy≥得144≥2xy当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2即xy≤72即x=12，y=6x+2y=24x=2y2422xy≥2xy2241226xyxxyy解，可得变式：如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x，CD=y，则篱笆的长为矩形花园的面积为xym22xyxy≤xyABDCx+y不是定值.2=24为222xyxy≤得2xy≤144当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m224122即xy≤72即x=12，y=6x+2y=24x=2y2241226xyxxyy解，可得变式：如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？分析：设AB=x，BC=24－2x，x242xABDC变式：如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：设AB=x，BC=24－2x，矩形花园的面积为x(24－2x)m21(242)2(242)2xxxx212242()7222xx≤当且仅当2x=24－2x,即x=6时，等号成立因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2(其中2x+(24-2x)=24是定值)变式：如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：设AB=x，BC=24－2x，矩形花园的面积为x(24－2x)m2(242)yxx令因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2当x=6时，函数y取得最小值为72222422(6)72yxxx则(012)x221R,2(),,abababab那么≥当且仅当时,等号成立(2)(0,0)2abababab≤，当且仅当时，等号成立。小结：求最值时注意把握“一正，二定，三相等”已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=Sxy≤S2(当且仅当x=y时,取“=”号).142.利用基本不等式求最值1.两个重要的不等式1、本节课主要内容？你会了吗？五、小结2、两个结论:两个正数,积定和最小;和定积最大。.,.)2()2(;2)1(:2号成立时当且仅当即babaababba2、(04重庆）已知则xy的最大值是。1、当x0时，的最小值为，此时x=。21xx1)0,0(232yxyx613、若实数，且，则的最小值是（）A、10B、C、D、yx,5yxyx333664318D第二课时习题课题型一、构造基本不等式证明不等式222221(1)(2)0,0,abcabbccabaababab例、证明：已知求证2220,0,0(1)(2)abcbcacababcabcabcabcbca变式、已知证明：222,(0,)111(1)41(2)211(3)(1)(1)911(4)222abababababab例、已知且，求证：例3求证：ab1时，lga·lgb12(lga＋lgb)lga＋b2.证明：由ab1知lga0，lgb0，故lga·lgb≤lga＋lgb2.又a≠b，则lga≠lgb，故lga·lgb12(lga＋lgb)．∵ab1，∴a＋b2ab，而12(lga＋lgb)＝lgablga＋b2，故有lga·lgb12(lga＋lgb)lga＋b2.[变式训练1]a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．分析：解决此题的关键是要记住一些常用的不等式：若a，b∈R＋，则ab≤(a＋b2)2,2(a2＋b2)≥(a＋b)2,a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b，1n(a1＋a2＋…＋an)≥na1a2…an(ai0，i＝1,2，…，n)等．证明：由不等式a2＋b2≥2ab，得a2＋b22≥a＋b2，即a2＋b2≥a＋b2.同理，b2＋c2≥b＋c2，c2＋a2≥c＋a2，三式相加得a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2a＋b＋c2＝2(a＋b＋c)．例4已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.证明：∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，∴1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca≥2bca，同理1b－1≥2acb，1c－1≥2abc，由上述三个不等式两边均为正，分别相乘．∴(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥2bca·2acb·2abc＝8，当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．构造条件二、应用0,02ababab（）20,0ababab（）例1、若,求的最小值.10xyxx变3:若,求的最小值.133xyxx变1:若求的最小值120,3xyxx变2:若,求的最小值.0,0baabyab发现运算结构，应用不等式问:在结论成立的基础上,条件“a0,b0”可以变化吗？0,02ababab（）0,02ababab2（）三、应用例2、已知,求函数的最大值.01(1)xyxx变式:已知,求函数的最大值.10(12)2xyxx发现运算结构，应用不等式课堂练习1.(1)已知，求函数的最大值。(2)已知，，且，求的最小值。45x54124xxy0x0y191yxyx2.求函数的值域。4522xxy3．如：求y＝sinx2＋2sinx(0xπ)的最小值．[例3](1)求函数y＝2x－5x2(0x25)的最大值；(2)当x3时，求函数y＝2x2x－3的最小值；(3)已知正数a，b满足a2＋b22＝1，求a1＋b2的最大值．分析：(1)本题可用二次函数配方法求最值，又y＝x(2－5x)可适当变形利用均值定理求最值；(2)先将函数解析式“化假为真”(即化假分数为真分数)，变形为能应用公式的形式；(3)利用条件中“和”为定值，需要对a1＋b2进行变形．解析：(1)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝15·5x(2－5x)．∵0x25，∴5x0,2－5x0，∴5x·(2－5x)≤(5x＋2－5x2)2＝1，∴y≤15，当且仅当5x＝2－5x，即x＝15∈(0，25)时，ymax＝15.(2)∵x3，∴x－30.又y＝2x2x－3＝2x－32＋12x－3＋18x－3＝2(x