建筑材料力学第五章力法

第五章力法§5-1超静定结构的组成和超静定次数§5-2力法基本原理§5-3力法举例§5-4力法简化计算建筑力学超静定结构有如下特征：1)从几何构造分析的观点来看，超静定结构是有多余约束的几何不变体系§5-1超静定结构的组成和超静定次数一、超静定结构的组成2)若只考虑静力平衡条件，超静定结构的内力和支座反力不能够由平衡方程唯一确定，还要补充位移条件。建筑力学如下图超静定梁，若只满足平衡条件，支座B的竖向反力可以是任意值。ABEI,lql83q若只满足平衡条件，超静定结构的内力和支座反力可以有无穷多组解答。建筑力学二、超静定次数超静定次数n=结构多余约束数目。为了确定超静定次数，通常使用的方法是拆除多余约束，使原结构变成静定结构，则n等于拆除的多余约束数。规则：1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束；2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束；建筑力学3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去掉三个约束；4）在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个约束。例：a)1X2Xn=2原结构n=21X2X建筑力学b)n=21X2X1X2Xn=2n=21X2X原结构建筑力学c)n=31X2X3X原结构d)1X2Xn=2原结构1X2X建筑力学f)1X2Xn=33X不要把原结构拆成几何可变体系。此外，要把超静定结构的多余约束全部拆除。原结构e)1X1Xn=1原结构建筑力学§5-2力法基本原理解超静定结构，除应满足平衡条件外，还必须满足位移协调条件。一、一次超静定结构的力法计算1.力法的基本体系和基本未知量如下图示超静定梁，去掉支座B的链杆，用相应的未知力X1代替，X1称为力法基本未知量。去掉B支座的多余约束后得到的静定结构称为力法基本结构。EIFPABl/2l/2建筑力学Δ1PEIFP（ΔBV=0）ABl/2l/2原结构FPAB基本体系1XAB1XΔ11+FPABAB11Xδ11）AB(·X1基本结构建筑力学2.力法方程力法方程为1110PBV基本结构的位移=原结构的位移BV——原结构B截面竖向位移因为11111X方程可写为11110PX建筑力学讨论：1）力法方程是位移方程。2）方程的物理意义：基本结构在荷载FP和未知量X1共同作用下沿X1方向的位移等于原结构B支座竖向位移。3）系数的物理意义：11——基本结构在X1=1作用下沿X1方向的位移。1P——基本结构在FP作用下沿X1方向的位移。建筑力学3.力法计算EIllllEI3322113111231121()2223325158648PPPPFllllEIFlFllEIEIBlAB11Xl/2M图FPAMP图2lFP1)求系数及自由项建筑力学3)作内力图1PMMXM31111353/485()16PPPFlEIXEIlF2)求未知力X1M图Q图ABlFP163lFP325PF1611PF165建筑力学二、多次超静定结构的力法计算下面给出多次超静定结构的基本结构在荷载和未知力X分别作用下的位移图。原结构基本体系ABFPqCDΔBH=0ΔBV=0θB=0ABFPqCDX1X3X2建筑力学AFPABqCDΔ2PΔ1PΔ3PBCDδ22δ12δ32X2=1ABCDδ21δ11δ31X1=1ABCDδ23δ13δ33X3=1建筑力学力法方程为由上述方程组求出X1,X2,X3,结构即变成静定结构的求解问题。01313212111BHPXXX02323222121BVPXXX03333232131BPXXX建筑力学三、超静定结构支座移动时的力法计算静定结构支座产生移动时，刚体产生位移，但结构内部不产生内力。与静定结构不同，超静定结构产生支座移动时，结构不仅产生变形，而且有内力。下面讨论超静定结构产生支座移动时力法的解题思路。原结构（受X1及支座转角θ共同作用）（只有X1作用，支座转角θ对杆端A无影响）ABEIlθABEIlθ基本体系IX1Bθ基本体系IIX1AEIl建筑力学（受X1及支座转角θ共同作用）解：1）选两种基本体系如下图示2）力法基本方程位移条件0BV力法方程01111CXA111X（只有X1作用，支座转角θ对杆端A无影响）ABEIlθ基本体系IX1Bθ基本体系IIX1AEIl建筑力学EIllllEI332211311EIllEI3321211111111323/3()CEIXllEIl1CRKKFCl3）求系数和自由项4）求未知力X1ABM图lFR1X1=1ABM图X1=11l1113/3()EIXlEIl建筑力学5）作内力图在基本体系II中，若X1为逆时针方向，如下图示，则力法方程成为：111XABX1=1M图lEI3Q图BA23lEI23lEIBA建筑力学小结：1）当超静定结构有支座位移时，所取的基本体系上可能保留有支座移动，也可能没有支座移动。应当尽量取无支座移动的基本体系。2）当基本体系有支座移动时，自由项按下式求解：1CRKKFCRKF为基本体系由X=1产生的支座反力；KC为基本体系的支座位移。3）当超静定结构有支座移动时，其内力与杆件的抗弯刚度EI成正比，EI越大，内力越大。建筑力学§5-3力法举例一、连续梁用力法解连续梁时，其基本体系是将杆件在中间支座处变为铰，如下图所示。原结构ΔφB=0ΔφC=0ABqCDlllEIEIEIABqCD基本体系X1X2建筑力学ΔφB=0——B左右截面相对转角等于零。ΔφC=0——C左右截面相对转角等于零。位移方程ABqCDΔ1PABCDX1=1δ11δ21ABCDX2=1δ12δ22建筑力学1.力法方程01212111BPXX02222121CPXX方程各系数示于上页图中。讨论方程和系数的物理意义。2.方程求解图、图及MP图见下页图示。上述弯矩图的一个特征是：弯矩图局部化。1M2M建筑力学02PEIqlqllEIP242181321321EIllEI3232121211EIl3222122111111236llEIEIABqCD82qlMP图ABCDX1=111M图ABCDX2=112M图建筑力学312122036242063llqlXXEIEIEIllXXEIEI2121240440qlXXXX将系数代入力法方程就得到：解方程得：3.作内力图PMXMXMM22111)根据下式求各截面M值，然后画M图。211()15Xql221()60Xql建筑力学2)根据M图求各杆剪力并画Q图。M图ABCD211120ql215ql260ql建筑力学Q图ABCD1730ql1330ql60ql12ql建筑力学二、超静定刚架例5-3-1求图示刚架M图。1.力法方程1111221211222200PBPAXXXXABCE1I1lE2I2l原结构qkIEIE2211ABCX2基本体系qX1φA=0ΔφB=0建筑力学三、超静定桁架以下图示桁架为例讨论两种基本体系的处理方法。除注明者外，其余各杆刚度为EA。原结构E1A1FPaa建筑力学基本体系I：力法方程：01111PX力法方程的物理意义是：基本结构在荷载和X1共同作用下，杆AB切口左右截面相对于水平位移等于零。基本结构中包括AB杆。基本体系IFPABX1aaX1X1建筑力学基本体系II：力法方程：/1111111/111111()0PPaXXEAaXEA力法方程的物理意义是：基本结构在荷载和X1共同作用下，结点A、B相对水平位移等于杆AB的伸长，但符号相反。基本结构中不包括AB杆。X1X1AB基本体系IIX1FPaa建筑力学四、排架E1I1E2I2E1I1E2I2EA→∞建筑力学例5-3-3求图示排架M图。EIEI原结构5kN/mEA→∞EIEA→∞6m2m排架结构求解时，通常切断链杆以得到力法基本结构。这样，MP图和图局部化，求解力法方程系数比较简单。1M建筑力学解：1）基本体系和力法方程1111221211222200PPXXXX基本体系5kN/mX2X1MP图90kN.m2）求系数和自由项方程物理意义：横梁切口左右截面相对水平位移等于零。建筑力学EIEI144)63266212(111X1=1661M图X2=1282M图28EIEI108)231832(662112112EIEI31024)382(13221113810690634PEIEI20P建筑力学17.375()XkN压22.334()XkN压4）作M图M图(kN.m)1.475m45.7525.5818.674.675.443）求多余未知力12121441088100108102403XXEIEIEIXXEIEI1212144108810032410240XXXX1122PMMXMXM建筑力学§5-6超静定结构位移计算一、超静定结构的位移计算用力法求出超静定结构的内力后，欲求某截面的位移，则单位荷载可以加在任选的基本体系上，即超静定结构的位移计算可以在任选的基本体系上进行。对于某超静定结构，所选取的各种基本体系在外因（荷载、温度变化、支座移动）以及未知力X共同作用下，其内力和变形与原结构完全相同。所以求原结构的位移就转化为求基本体系的位移。建筑力学例5-6-1求梁中点竖向位移ΔCV，EI为常数。解：1)单位荷载加在原结构上23231223282421224lqlqllqlql328838851llly)(3843224224311EIqllqlEIyEICV原结构ABql/2l/2C02y122ql图l/8CAB122ql242qlCAB1l/8l/8MM图ω1ω2y1y2建筑力学2)单位荷载加在基本体系I上（结果相同）842124823222321lllqlqll12325221qlyly3224112211522()2432812384CVqlllqlqlyyEIEIEI（）（）基本体系IABqC1221qlX1221qlXAACB122ql122qlCB1l/4M图M图ω1ω2y1y2ql2/24建筑力学3）单位荷载加在基本体系II上（结果相同）24823224122322321qlqllqlqll163283421llyly331122444113244241613()()96384384CVqllqllyyEIEIqlqlqlEIEI（）（）基本体系IIABqC1221qlX22qlXCAB122ql122ql242qlCAB1l/2M图M图ω2ω1y2y1建筑力学二、温度变化及支座移动时的位移计算1.温度变化时的位移计算a)原结构8m6mC50C0C0C0C50C500.6m0.4mABCDb)M图94.4EIα94.4EIα图a)所示结构的M图已求出，见图b），欲求D结点的水平位移。各杆EI、相同。DH建筑力学则位移计算的公式为：0()DHNMMtdsMdstFdsEIh因为超静定结构的位移计算可以在任选的基本体系上进行。如取图c)所示基本体系求解超静定结构，则基本体系上作用有X1及温度变化两种因素。c)力法基本体系C50C0C0C0C50C50X1ADCB基本体系在X1作用下的M图即上页图b)，此外还要考虑温度变化的影响。建筑力学oo05025tCtC