15条件概率-中南大学数学科学与计算技术学院(精)

概率论中南大学数学院概率统计课程组§1.5条件概率、全概率公式和贝叶斯公式设A、B是某随机试验中的两个事件，且P(A)0，则称事件B在“事件A已发生”这一附加条件下的概率为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率,简称为B在A之下的条件概率，记为P(B|A)。引例:袋中有7只白球,3只红球,白球中有4只木球,3只塑料球;红球中有2只木球,1只塑料球现从袋中任取1球,假设每个球被取到的可能性相同.若已知取到的球是白球,问它是木球的概率是多少？设A表示任取一球，取得白球；B表示任取一球，取得木球.解:列表白球红球小计木球426塑球314小计731074ABPABABkk4AAkn7)()(APABP)()(APABP从而有AABkkABP74107104//nknkAAB条件概率的定义定义:设A、B为两事件,P(A)0,则称：P(AB)/P(A)为事件A发生的条件下B事件发生的条件概率，记为ABP)()(APABP例1已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率．则878111APAP86ABP768786APABPABP所以解：设A={3个小孩至少有一个女孩}B={3个小孩至少有一个男孩}条件概率的性质0)(ABP1)(AP11iiiiABPABP非负性规范性可列可加性)()()()(ABBPABPABPABBP212121)()(ABPABP1)()()(ABBPABPABBP21121由条件概率求积事件的概率即得乘法公式)0)(()()(APABPAPABP)0)(()()(BPBAPBPABP推广)0)(()()(21213121321AAPAAAPAAPAPAAAP乘法公式例2某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为0.8,能用1500小时的概率为0.4,求已用1000小时的灯泡能用到1500小时的概率.解令A灯泡能用到1000小时B灯泡能用到1500小时所求概率为)()(APABPABPAB218.04.0)()(APBP例3某批产品中，甲厂生产的产品占60%，已知甲厂的产品的次品率为10%，从这批产品中随意的抽取一件，求该产品是甲厂生产的次品的概率。解:设A表示事件“产品是甲厂生产的”，B表示事件“产品是次品”由题设知60%P(A)10%)AP(B根据乘法公式，有%6%10%60)()()(ABPAPABP例3一批产品100件70件正品30件次品甲厂生产40件乙厂生产30件甲厂生产20件乙厂生产10件从中任取1件,记A=“取到正品”,表及里B=“取到甲厂产品”,试计算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).解:7.010070)(AP6.010060)(BP4.010040)(ABP747040)|(ABP326040)|(BAP例4从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，求2张都是假钞的概率。解:令A表示“抽到2张都是假钞”B表示“2张中至少有1张假钞”BABAPAP则所求概率是（而不是！）.)(APABP22025/CC2201151525/)(CCCCBP)(/)(BPABPBAP所以118.085/10)/(1151522025CCCC（1）取两次，两次都取得一等品的概率;（2）取两次，第二次取得一等品的概率;（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;（4）取两次，已知第二次取得一等品，求:第一次取得的是二等品的概率.例5盒中装有5个产品,其中3个一等品，2个二等品,从中不放回地取产品,每次1个,求:（2）直接解更简单5/3)(2AP)()()()(212121212AAPAAPAAAAPAP（2）5342534352解:令Ai为第i次取到一等品（1）1034253)()()(12121AAPAPAAP(3)213121321)(AAAPAAPAPAAAP101334152提问：第三次才取得一等品的概率,是?)()(321213AAAPAAAP还是(4))()()()()(221222121APAAPAPAPAAPAAP5.0153103条件概率与无条件概率之间的大小无确定关系上例中)(616.01.0)()()(212112APAPAAPAAP)()()()()(BPAPBPAPABPABP若AB一般地休息片刻继续