2016年黑龙江省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅱ)

试卷第1页，总22页2016年黑龙江省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知𝑧=(𝑚+3)+(𝑚−1)𝑖在复平面内对应的点在第四象限，则实数𝑚的取值范围是（）A.(−3, 1)B.(−1, 3)C.(1, +∞)D.(−∞, −3)2.已知集合𝐴={1, 2, 3}，𝐵={𝑥|(𝑥+1)(𝑥−2)0, 𝑥∈𝑍}，则𝐴∪𝐵=()A.{1}B.{1, 2}C.{0, 1, 2, 3}D.{−1, 0, 1, 2, 3}3.已知向量𝑎→=(1, 𝑚)，𝑏→=(3, −2)，且(𝑎→+𝑏→)⊥𝑏→，则𝑚=()A.−8B.−6C.6D.84.圆𝑥2+𝑦2−2𝑥−8𝑦+13=0的圆心到直线𝑎𝑥+𝑦−1=0的距离为1，则𝑎=()A.−43B.−34C.√3D.25.如图，小明从街道的𝐸处出发，先到𝐹处与小红会合，再一起到位于𝐺处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A.24B.18C.12D.96.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.20𝜋B.24𝜋C.28𝜋D.32𝜋7.若将函数𝑦=2sin2𝑥的图象向左平移𝜋12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A.𝑥=𝑘𝜋2−𝜋6(𝑘∈𝑍)试卷第2页，总22页B.𝑥=𝑘𝜋2+𝜋6(𝑘∈𝑍)C.𝑥=𝑘𝜋2−𝜋12(𝑘∈𝑍)D.𝑥=𝑘𝜋2+𝜋12(𝑘∈𝑍)8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的𝑥=2，𝑛=2，依次输入的𝑎为2，2，5，则输出的𝑠=()A.7B.12C.17D.349.若cos(𝜋4−𝛼)=35，则sin2𝛼=()A.725B.15C.−15D.−72510.从区间[0, 1]随机抽取2𝑛个数𝑥1，𝑥2，…，𝑥𝑛，𝑦1，𝑦2，…，𝑦𝑛构成𝑛个数对(𝑥1, 𝑦1)，(𝑥2, 𝑦2)…(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)，其中两数的平方和小于1的数对共有𝑚个，则用随机模拟的方法得到的圆周率𝜋的近似值为（）A.4𝑛𝑚B.2𝑛𝑚C.4𝑚𝑛D.2𝑚𝑛11.已知𝐹1，𝐹2是双曲线𝐸:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的左、右焦点，点𝑀在𝐸上，𝑀𝐹1与𝑥轴垂直，sin∠𝑀𝐹2𝐹1=13，则𝐸的离心率为（）A.√2B.32C.√3D.212.已知函数𝑓(𝑥)(𝑥∈𝐑)满足𝑓(−𝑥)=2−𝑓(𝑥)，若函数𝑦=𝑥+1𝑥与𝑦=𝑓(𝑥)图象的交点为(𝑥1, 𝑦1)，(𝑥2, 𝑦2)，…，(𝑥𝑚, 𝑦𝑚)，则∑(𝑚𝑖=1𝑥𝑖+𝑦𝑖)=()A.0B.𝑚C.2𝑚D.4𝑚二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13.△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，若cos𝐴=45，cos𝐶=513，𝑎=1，则试卷第3页，总22页𝑏=________．14.𝛼，𝛽是两个平面，𝑚，𝑛是两条直线，有下列四个命题：①如果𝑚⊥𝑛，𝑚⊥𝛼，𝑛 // 𝛽，那么𝛼⊥𝛽．②如果𝑚⊥𝛼，𝑛 // 𝛼，那么𝑚⊥𝑛．③如果𝛼 // 𝛽，𝑚⊂𝛼，那么𝑚 // 𝛽．④如果𝑚 // 𝑛，𝛼 // 𝛽，那么𝑚与𝛼所成的角和𝑛与𝛽所成的角相等．其中正确的命题是________（填序号）15.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．16.若直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏是曲线𝑦=ln𝑥+2的切线，也是曲线𝑦=ln(𝑥+1)的切线，则𝑏=________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.𝑆𝑛为等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，且𝑎1=1，𝑆7=28，记𝑏𝑛=[lg𝑎𝑛]，其中[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（1）求𝑏1，𝑏11，𝑏101；（2）求数列{𝑏𝑛}的前1000项和．18.某保险的基本保费为𝑎（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85𝑎𝑎1.25𝑎1.5𝑎1.75𝑎2𝑎设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．19.如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝑂，𝐴𝐵=5，𝐴𝐶=6，点𝐸，𝐹分别在𝐴𝐷，𝐶𝐷上，𝐴𝐸=𝐶𝐹=54，𝐸𝐹交于𝐵𝐷于点𝑀，将△𝐷𝐸𝐹沿𝐸𝐹折到△𝐷′𝐸𝐹的位置，𝑂𝐷′=√10．试卷第4页，总22页（1）证明：𝐷′𝐻⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷；（2）求二面角𝐵−𝐷′𝐴−𝐶的正弦值．20.已知椭圆𝐸:𝑥2𝑡+𝑦23=1的焦点在𝑥轴上，𝐴是𝐸的左顶点，斜率为𝑘(𝑘0)的直线交𝐸于𝐴，𝑀两点，点𝑁在𝐸上，𝑀𝐴⊥𝑁𝐴．（1）当𝑡=4，|𝐴𝑀|=|𝐴𝑁|时，求△𝐴𝑀𝑁的面积；（2）当2|𝐴𝑀|=|𝐴𝑁|时，求𝑘的取值范围．21.(𝐼)讨论函数𝑓(𝑥)=𝑥−2𝑥+2𝑒𝑥的单调性，并证明当𝑥0时，(𝑥−2)𝑒𝑥+𝑥+20；(𝐼𝐼)证明：当𝑎∈[0, 1)时，函数𝑔(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎𝑥−𝑎𝑥2(𝑥0)有最小值．设𝑔(𝑥)的最小值为ℎ(𝑎)，求函数ℎ(𝑎)的值域．请考生在第22～24题中任选一个题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22.如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸，𝐺分别在边𝐷𝐴，𝐷𝐶上（不与端点重合），且𝐷𝐸=𝐷𝐺，过𝐷点作𝐷𝐹⊥𝐶𝐸，垂足为𝐹．（1）证明：𝐵，𝐶，𝐺，𝐹四点共圆；（2）若𝐴𝐵=1，𝐸为𝐷𝐴的中点，求四边形𝐵𝐶𝐺𝐹的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23.在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，圆𝐶的方程为(𝑥+6)2+𝑦2=25．（1）以坐标原点为极点，𝑥轴正半轴为极轴建立极坐标系，求𝐶的极坐标方程；（2）直线𝑙的参数方程是{𝑥=𝑡cos𝛼𝑦=𝑡sin𝛼（𝑡为参数），𝑙与𝐶交与𝐴，𝐵两点，|𝐴𝐵|=√10，求𝑙的斜率．试卷第5页，总22页[选修4-5：不等式选讲]24.已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥−12|+|𝑥+12|，𝑀为不等式𝑓(𝑥)2的解集．（1）求𝑀；（2）证明：当𝑎，𝑏∈𝑀时，|𝑎+𝑏||1+𝑎𝑏|．试卷第6页，总22页参考答案与试题解析2016年黑龙江省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】A【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可．【解答】解：𝑧=(𝑚+3)+(𝑚−1)𝑖在复平面内对应的点在第四象限，可得：{𝑚+30𝑚−10，解得−3𝑚1．故选：𝐴．2.【答案】C【考点】并集及其运算一元二次不等式的解法【解析】先求出集合𝐴，𝐵，由此利用并集的定义能求出𝐴∪𝐵的值．【解答】解：∵集合𝐴={1, 2, 3}，𝐵={𝑥|(𝑥+1)(𝑥−2)0, 𝑥∈𝑍}={0, 1}，∴𝐴∪𝐵={0, 1, 2, 3}．故选：𝐶．3.【答案】D【考点】平面向量的基本定理【解析】求出向量𝑎→+𝑏→的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于𝑚的方程，解得答案．【解答】∵向量𝑎→=(1, 𝑚)，𝑏→=(3, −2)，∴𝑎→+𝑏→=(4, 𝑚−2)，又∵(𝑎→+𝑏→)⊥𝑏→，试卷第7页，总22页∴12−2(𝑚−2)=0，解得：𝑚=8，4.【答案】A【考点】圆的一般方程点到直线的距离公式【解析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．【解答】解：圆𝑥2+𝑦2−2𝑥−8𝑦+13=0的圆心坐标为：(1, 4)，故圆心到直线𝑎𝑥+𝑦−1=0的距离𝑑=|𝑎+4−1|√𝑎2+1=1，解得：𝑎=−43，故选：𝐴．5.【答案】B【考点】排列、组合的实际应用分步乘法计数原理【解析】从𝐸到𝐹最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从𝐹到𝐺，最短的走法，有𝐶31=3种走法，利用乘法原理可得结论．【解答】解：从𝐸到𝐹，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从𝐸到𝐹最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有𝐶42=6种走法．同理从𝐹到𝐺，最短的走法，有𝐶31=3种走法．∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18种走法．故选：𝐵．6.【答案】C【考点】由三视图求面积、体积【解析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2√3，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2√3，试卷第8页，总22页∴在轴截面中圆锥的母线长是√12+4=4，∴圆锥的侧面积是𝜋×2×4=8𝜋，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是𝜋×22+2𝜋×2×4=20𝜋∴空间组合体的表面积是28𝜋，故选：𝐶．7.【答案】B【考点】正弦函数的奇偶性函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴0, 𝜔0)的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．【解答】将函数𝑦=2sin2𝑥的图象向左平移𝜋12个单位长度，得到𝑦=2sin2(𝑥+𝜋12)=2sin(2𝑥+𝜋6)，由2𝑥+𝜋6=𝑘𝜋+𝜋2(𝑘∈𝑍)得：𝑥=𝑘𝜋2+𝜋6(𝑘∈𝑍)，即平移后的图象的对称轴方程为𝑥=𝑘𝜋2+𝜋6(𝑘∈𝑍)，8.【答案】C【考点】程序框图【解析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量𝑆的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：因为输入的𝑥=2，𝑛=2，当输入的𝑎为2时，𝑠=2，𝑘=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的𝑎为2时，𝑠=6，𝑘=2，不满足退出循环的条件；当输入的𝑎为5时，𝑠=17，𝑘=3，满足退出循环的条件；故输出的𝑠值为17，故选𝐶.9.【答案】D【考点】二倍角的余弦公式三角函数的恒等变换及化简求值【解析】利用诱导公式化sin2𝛼=cos(𝜋2−2𝛼)，再利用二倍角的余弦可得答案．试卷第9页，总22页【解答】解：∵cos(𝜋4−𝛼)=35，∴s