第11章-一元非线性回归分析

第十一章一元非线性回归分析第一节非线性回归分析的意义与步骤一、非线性回归分析的意义变量的非线性关系如，非线性回归分析：研究具有非线性关系的变量间联系形式的统计方法。本章只介绍通过变量代换可转化为直线回归或多元线性回归问题的两种一元（只有一个自变量）非线性回归。xyxy二、非线性回归分析的步骤第一步描散点图，确定回归方程的模型：———回归模型baxyxx1x2…xnyy1y2…ynxy第二步求方程中待定系数，建立回归方程：1.将非线性方程化为线性方程；例如，将化直：令则2.求待定系数建立线性方程；3.对线性方程作回归关系显著性检验；4.将线性方程还原为非线性方程：如上例a＝lg－1a′baxyxbaylglglgyylgaalgxxlgxbay第二节可化为直线的非线性回归常见曲线方程类型及化直的方法：一．幂函数：1.一般幂函数：（a≠0）化直：2.带有常量的幂函数：（a≠0）化直：baxyxbaylglglgbaxcyxbacylglg)lg(b＞1xy0＜b＜1cxy-1b0b=-1b-1二．指数函数：1.（b≠1）化直：2.化直：xabybxaylglglgbxaeybxaylnlnb＞10＜b＜1xyb＞0b＜0x三．对数函数：化直：令x′＝lgx四．S曲线：化直：xbaylgyxb＜0b＞0bxaecy1bxaycln)1ln(0xybxaeyc1五、双曲线：1、化直：2、化直：bxaxybxayxxyb＞0bxay1bxay1b0例，P156例9.10浙农大1981年在柑桔花凋定果后，每隔10天测定温州蜜柑早熟品系单果直径x与单果鲜重y的关系列于下表，试建立y与x之间的关系式。果径x果重yx´=lgxy´=lgy2.7111.490.43301.06033.2618.680.51321.27143.5924.070.55511.38154.0240.100.60421.60314.4255.700.64521.74584.6966.920.67121.82554.8980.550.68931.90614.9790.960.69631.95885.32113.400.72592.05465.61145.900.74892.16415.55145.900.74432.16415.31129.400.72512.1119解：1、作散点图，确定回归模型：2、将曲线化直：对原始数据x、y求对数，见上表。baxyxbaylglglgxbay3、求待定系数，建立直线方程：一级统计数：n=12二级统计数：7517.7x1184.52x1177.392y2472.21y1307.14yx6460.0x7706.1y1110.0xSS4974.1ySS4055.0yxSP直线方程：6532.3111.04055.0xyxSSSPb5894.0646.06532.37706.1xbyaxy6532.35894.0ˆ4、直线回归关系的显著性检验df回=1df离=n－2=10F0.05(1,10)=4.96F0.01(1,10)=10.04因为FF0.01，所以推断直线回归关系极显著，也说明用幂函数来拟合x与y关系是有效的。4814.1111.04055.022xyxSSSPSS回0160.04814.14974.1回离SSSSSSy**88.92510016.04814.1离离回dfSSSSF5、将方程还原成曲线方程：因为所以所以，温州蜜柑果实横径（x）与果实鲜重（y）的回归方程为5894.0lgaa2574.010)5894.0(lglg5894.011aa6532.32574.0ˆxy第三节多项式回归多项式：（一元回归）一次式：y＝b0＋b1x——直线二次式：y＝b0＋b1x＋b2x2——抛物线三次式：y＝b0＋b1x＋b2x2＋b3x3——三次抛物线……mmxbxbxbby22100一次二次三次四次五次…xb2＞0b2＜0y多项式可化为多元线性回归方程后作回归分析，求出b0及bi：令x1＝x，x2＝x2，x3＝x3，…，xm＝xm，则多项式转化为y＝b0＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋…＋bmxm——多元线性回归方程具体分析步骤：1.将多项式转化为多元线性回归方程，并求b0、bi；2.对多元线性回归方程作回归关系显著性检验；3.作偏回归系数的显著性检验；4.剔除不显著的自变量，直到所有自变量都显著为止；5.将多元线性回归方程还原为多项式。