中点模型的构造、等积模型

1几何综合题型一：中点模型的构造中点模型①中线（点）：倍长（类）中线②两中点：中位线③等腰三角形底边中点：三线合一④直角三角形斜边中点：斜边中线=斜边一半构造两等腰⑤中垂线：中垂线上的点连两端点有些题目的中点没有直接给出，此时需要挖掘题目中隐含的中点条件，并适时添加辅助线．典题精练【例1】如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，若∠EMD=3∠MEA．求证：BC=2AB．DCBAEM【解析】证法一：如右图（a），延长EM交CD的长线于点E，连结CM∵AB∥CD，∴∠ME'D=∠MEA．又AM=DM，∠AME=∠DME'∴△AFM≌△DEM．∴EM=EM∵AB∥CD，CE⊥AB，∴EC⊥CD．∴CM是Rt△ECE斜边EE的中线，∴ME=MC．∴MEDECM，∴∠EMC=2MED=2∠AEM．∵∠EMD=3∠MEA，∴∠CMD=∠DCM，∴MD=CD．∵AD=2DM，AB=CD，AD=BC，(a)E’MEABCD∴BC=2AB．证法二：如右图(b)，过点M作MMAB∥交BC于M，过点M作MEME∥交AB的延长线于点E，连接EM．∴点M是BC的中点，EEAB，EBMEAM，MEBMEA，MMDEAMEBM∵点M是Rt△EBC斜边BC的中点，∴MEBM，∴BEMMBE．∴180EBMBEM．∵∠EMD=3∠MEA，∴2MMDMEA，∴2EBMMEB∴1802BEMMEB，1902MEBBEM．∴EEME．∴EMEE,∴BMAB．∴BC=2AB．【例2】如图所示，分别以△ABC的边AB、AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，点M为BC中点，⑴求证：AM⊥EG；⑵求证：EG=2AM．GFEDCBAM【解析】⑴如图所示，延长AM到N，使MN=AM,延长MA交EG于点P，连接BN、NC．∵BM=CM，∴四边形ABNC是平行四边形．∴BN=AC=AG．∵∠EAG+∠BAC=180，∠ABN+∠BAC=180，∴∠EAG=∠ABN．∵AE=AB，∴△EAG≌△ABN．∴∠AEG=∠BAN．又∵∠EAB=90，∴∠EAP+∠BAN=90．∴∠AEP+∠EAP=90．∴MA⊥EG．⑵证明：∵△EAG≌△ABN，∴EG=AN=2AM．(b)M’E’MEABCDNPMABCDEFG3题型二：平移及等积变换典题精练【例3】已知：如图，正方形ABCD中，E是AB上一点，FG⊥DE于点H．⑴求证：FG=DE．⑵求证：FD+BG≥2FG．HGFEDCBAPABCDEFGH【解析】延长GC到点P，使得GP=DF，连接EP，DP．⑴∵DF∥GP，GP=DF∴四边形DFGP为平行四边形∴FG=DP，FG∥DP又∵FG⊥DE，∴DP⊥DE∴∠ADE=∠CDP在△ADE和△CDP中DAEDCPDADCADECDP∴△ADE≌△CDP∴DE=DP=FG⑵由⑴知道△DEP为等腰直角三角形∴22EPDEFG在△EGP中，EG+DF=EG+GP≥PE=2FG当EG∥FD时，取到等号【例4】如下图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若△PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？HGFEDCBAPPABCDEFGH【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF的面积与平行四边形PGAE的面积差，相当于求平行四边形BCFE的面积与平行四边形ABHG的面积差．如右图，连接CP、AP．可得：12BCPADPSSABCD△△12ABPBDPADPABCDSSSS△△△所以BCDABPBDPSSS△△△而12BCPBCFESS△，12ABPABHGSS△，所以2216BCFEABHGBCPABPBDPSSSSS△△△(平方分米)．题型三：旋转典题精练【例5】已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM.⑴如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为．⑵如图②，点D不在AB上，⑴中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．图1NMEDCBA图2MDCBAE【解析】⑴BD=2BM⑵结论成立，证明：连接DM，过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，可证得△MDE≌△MFC,∴DM=FM，DE=FC，∴AD=ED=FC，作AN⊥EC于点N，由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，可证得∠1=∠2，∠3=∠4，∵CF∥ED，∴∠1=∠FCM，∴∠BCF=∠4+∠FCM=∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAD.∴△BCF≌△BAD,∴BF=BD，∠5=∠6，∴∠DBF=∠5+∠ABF=∠6+∠ABF=∠ABC=90°，∴△DBF是等腰三角形，∵点M是DF的中点，则△BMD是等腰三角形，∴BD=2BM5GDFCEBA【例6】已知正方形ABCD，在BC边上取一点E，作EFAE交BCD的外角平分线于F，求证：AEEF．【解析】法一：如图，连接AC，过E作EGBC，交AC于G．∵90AEGGEF，90FECGEF，∴AEGFEC．又∵GEC△为等腰直角三角形，∴GECE．又9045135ECF，18045135EGA，∴ECFEGA，∴AEGFEC△≌△，故AEEF．法二：如图，过E作EGBC，交FC的延长线于G，连接AC，则45ECGDCF，∴45EGF，∴EGEC．而45ACE，∴EGFECA．又90FEGFEC，90AECFEC，∴FEGAEC，有EFGEAC△≌△，∴AEEF．法三：在AB上截取BN=BE，证明ANEECF△≌△即可；思维拓展训练(选讲)训练1.如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC与BD交于点O，∠AOB=60，P、Q、R分别是OA、OB、OC的中点，求证：△PQR是正三角形．DCBARQPO【解析】证明：如右图，连接BP、CR．∵四边形ABCD是等腰梯形，GDFCEBADFCEBA∴AD=BC，OA=OB，OC=OD．∵∠AOB=60°，∴△AOB、△COD都是正三角形．∵P是OA的中点，R是OD的中点，∴BP⊥OA，CR⊥OD．∵PR是△ODA的中位线，∴PR=1122ADBC．∴PR=PQ=QR．∴△PQR是正三角形．训练2.如图⑴，四边形EFGH中，若12，则3必然等于4．请运用结论证明下述问题：如图⑵，在平行四边形ABCD中取一点P，使得56，求证：78．4321HGEF(1)(2)ABCDP5678【分析】此题为信息题，难点在于如何理解已知条件，经观察我们．．．．．发现，若．．．．1和．2，位置为．．．．时可得出．．．．3和．4相等．．（．本质为．．．四点共圆．．．．）．．图⑵中，5与6关系并不像条件所示，因此，需要改变角位置，而这点可以通过构造平行四边形来解决．而构造平行四边形，恰可以达到改变角位置作用，为使5与6成形，我们可有如下四种方法．【解析】分别过点B、P作BKAP∥，PKAB∥，交于点K，连接CK．∵BKAP∥，PKAB∥∴BKAP，PKAB，5BKP，7BPK∵ABCD，ABCD∥∴PKCD∥，PKCD∴四边形PKCD为平行四边形∴PDCK∵ADBC∴ADP△≌BCK△(6不动移5)K8765PDCBAOPQRABCD7∴8BCK在四边形BKCP中，56BKP∴BPKBCK∴78ABCDP5678K(5,6不动移)ABCDP5678K(5,6不动移)ABCDP5678K(5不动移6)（∠5不动移∠6）（∠5，∠6不移动）（∠5，∠6不移动）训练3.已知：在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD．探究下列问题：⑴如图(a)，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD=________；⑵如图(b)，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD=________；⑶如图(c)，当∠ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的∠ACB的度数．(a)DCBA(b)DCBA(c)ABCD【解析】⑴33；⑵3632；⑶如图（d），以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，则点B落在点A，点C落在点E，连接AE、CE、DE．∴CD=ED，∠CDE=60°．∴△CDE为等边三角形．∴CE=CD．当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CEAE+AC=a+b；如图(e),当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b；此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°，∴∠ACB=120°．因此当∠ACB=120°时，CD有最大值是a+b．EDCBA(d)(e)EDCBA