梅涅劳斯定理与塞瓦定理

板块一梅涅劳斯定理及其逆定理知识导航梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC△的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么1AFBDCEFBDCEA．这条直线叫ABC△的梅氏线，ABC△叫梅氏三角形．GFEDCBAGFEDCBAH3H2H1FEDCBA证法一：如左图，过C作CG∥DF∵DBFBDCFG，ECFGAEAF∴1AFBDCEAFFBFGFBDCEAFBFGAF．证法二：如中图，过A作AGBD∥交DF的延长线于G∴AFAGFBBD，BDBDDCDC，CEDCEAAG三式相乘即得：1AFBDCEAGBDDCFBDCEABDDCAG．证法三：如右图，分别过ABC、、作DE的垂线，分别交于123HHH、、．则有123AHBHCH∥∥，所以3122311CHAHBHAFBDCEFBDCEABHCHAH．梅涅劳斯定理的逆定理：若F、D、E分别是ABC△的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果1AFBDCEFBDCEA，则F、D、E三点共线．梅梅涅涅劳劳斯斯定定理理与与塞塞瓦瓦定定理理夯实基础【例1】如图，在ABC△中，AD为中线，过点C任作一直线交AB于点F，交AD于点E，求证：:2:AEEDAFFB．ECDBFA【解析】∵直线FEC是ABD△的梅氏线，∴1AEDCBFEDBCFA．而12DCBC，∴112AEBFEDFA，即2AEAFEDBF．习题1.在△ABC中，D是BC的中点，经过点D的直线交AB于点E，交CA的延长线于点F．求证：FAEAFCEB．EFBDCA【解析】直线截ABC△三边于D、E、F三点，应用梅氏定理，知1CDBEAFDBEAFC，又因为BDBC，所以1BEAFEAFC，即FAEAFCEB．习题2.如图，在△ABC中，90ACB，ACBC．AM为BC边上的中线，CDAM于点D，CD的延长线交AB于点E．求AEEB．DEBMCA【解析】由题设，在RtAMC△中，CDAM，2ACCM，由射影定理224ADADAMACDMDMAMCM．对ABM△和截线EDC，由梅涅劳斯定理，1AEBCMDEBCMDA，即21114AEEB．所以2AEEB．探索提升【例2】如图，在ABC△中，D为AC中点，BEEFFC，求证：::5:3:2BMMNND．NMDCFEBA【解析】∵直线AE是BCD△的梅氏线，∴1BMDACEMDACEB．∴12121BMMD，∴11BMMD∵直线AF是BCD△的梅氏线，∴1BNDACFNDACFB，∴11122BNND，41BNND．∴::5:3:2BMMNND．习题3.如图，在ABC△中，D为BC的中点，::4:3:1AEEFFD．求::AGGHAB．CEFDBHGA【解析】∵HFC是ABD△的梅氏线，∴1AHBCDFHBDCFA．∵D为BC的中点，::4:3:1AEEFFD，∴21BCDC，17DFFA．∴21117AHHB，∴72AHHB．∵GEC是ABD△的梅氏线，∴1AGBCDEGBDCEA，∴21111AGGB，∴12AGGB．∴::3:4:2AGGHHB．∴::3:4:9AGGHAB．【例3】过ABC△的重心G的直线分别交AB、AC于点E、F，交CB的延长线于点D．求证：1BECFEAFA．DGFECBAMDGFECBA【解析】作直线AG交BC于M，∵:1:2MGGA，BMMC．∴AEBDMGEBDMGA112AEBDEBDM．∴2EBBDAEDM．同理，2CFDCFADM，而2BDDCBDBDBM2()2BDBMDM∴21222BECFBDDCDMEAFADMDMDM．【例4】如图，点D、E分别在ABC△的边AC、AB上，AEEB，23ADDC，BD与CE交于点F，40ABCS△．求AEFDS．FDECBA【解析】对ECA△和截线BFD，由梅氏定理得：1EFCDABFCDABE，即32121EFFC，所以13EFFC．所以1148BFEBECABCSSS△△△，进而211140115840AEFDABDBEFABCSSSS△△△．习题4.如图，在ABC△中，三个三角形面积分别为5，8，10．四边形AEFD的面积为x，求x的值．x1085FDECBA【解析】对ECA△和截线BFD，由梅氏定理得：1CDABEFDABEFC，即1823115152xx，解得22x．【备选】如图，ABC△被通过它的三个顶点与一个内点O的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求ABC△的面积．354030OFECDBA【解析】对ABD△和截线COF，由梅氏定理得：1AFBCDOFBCDOA，即41132BCCD，所以32BCCD，所以3BCBD．所以33105315ABCABDSS△△．非常挑战【例5】如图，在ABC△中，A的外角平分线与边BC的延长线交于点P，B的平分线与边CA交于点Q，C的平分线与边AB交于点R，求证：P、Q、R三点共线．PCBQRA【解析】AP是BAC的外角平分线，则BPABPCCA①BQ是ABC的平分线，则CQBCQAAB②CR是ACB的平分线，则ARCARBBC③①②③得1BPCQARABBCCAPCQARBCAABBC因R在AB上，Q在CA上，P在BC的延长线上，则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：P、Q、R三点共线．习题5.证明：不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点．FEDCBAPFEDCBA【解析】如图，CDBEAF、、分别为三角形ABC的三个外角平分线，分别交ABACBC、、于DEF、、．过C作BE的平行线，则BCPCBEEBDCPB，所以BPC△是等腰三角形．则PBCB．则有：CEPBCBEABABA．同理ADACDBCB；BFBAFCAC．所以1CEADBFCBACBAEADBFCBACBAC．所以DEF、、共线．板块二塞瓦定理及其逆定理知识导航塞瓦定理：如果ABC△的三个顶点与一点P的连线AP、BP、CP交对边或其延长线于点D、E、F，如图，那么1BDCEAFDCEAFB．通常称点P为ABC△的塞瓦点．PFEDCBA证明：∵直线FPC、EPB分别是ABD△、ACD△的梅氏线，∴1BCDPAFCDPAFB，1DBCEAPBCEAPD．两式相乘即可得：1BDCEAFDCEAFB．塞瓦定理的逆定理：如果点D、E、F分别在ABC△的边BC、CA、AB上或其延长线上，并且1BDCEAFDCEAFB，那么AD、BE、CF相交于一点（或平行）．FPF'EDCBAFEDCBA证明：⑴若AD与BE相交于一点P时，如图，作直线CP交AB于'F．由塞瓦定理得：'1BDCEAFDCEAFB，又已知1BDCEAFDCEAFB，∴AFAFFBFB，∴ABABFBFB，∴FBFB．∴'F与F重合∴'CF与CF重合∴AD、BE、CF相交于一点．⑵若AD与BE所在直线不相交，则AD∥BE，如图．∴BDEADCAC，又已知1BDCEAFDCEAFB，∴1EACEAFACEAFB，即CEFBACAF．∴//BEFC，∴ADBEFC∥∥．说明：三线平行的情况在实际题目中很少见．探索提升【例6】（1）设AXBYCZ，，是ABC△的三条中线，求证：AXBYCZ，，三线共点．ZYXCBA（2）若AXBYCZ，，为ABC△的三条内角平分线．求证：AXBYCZ，，三线共点．ZYXCBA【解析】（1）由条件知，BXXCYCYAZAZB，，．∴1BXCYAZXCYAZB，根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线AXBYCZ，，共点．这个点称为这个三角形的重心．（2）由三角形内角平分线定理得：BXABCYBCAZACXCACYABAZBBC，，．三式分别相乘，得：1BXCYAZABBCACXCYAZBACABBC．根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线AXBYCZ，，共点，这个点称为这个三角形的内心．习题6.若AXBYCZ，，分别为锐角ABC△的三条高线，求证：AXBYCZ，，三线共点．ZYXCBA【解析】由ABXCBZ△∽△得：BXABBZBC；由BYACZA△∽△得：AZACAYAB；由AXCBYC△∽△可得：YCBCCXAC．所以1BXAZYCABACBCBZAYCXBCABAC．根据塞瓦定理的逆定理可得三条高线AXBYCZ，，共点．对直角三角形、钝角三角形，同样也可以证得三条高线共点．我们把一个三角形三条高线所在直线的交点叫做这个三角形的垂心．【例7】如图，M为ABC△内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点D，求证：EFBC∥．FDEMCBA【解析】对ABC△和点M应用塞瓦定理可得：1AFBDCEFBDCEA．又因为BDDC，所以1AFCEFBEA．进而AFAEFBEC，所以EFBC∥．习题7.如果梯形ABCD的两腰AD、BC的延长线交于M，两条对角线交于N．求证：直线MN必平分梯形的两底．BQANCPDM【解析】∵ABCD∥∴MDCMDABC∴1MDBCDACM∵1MDAQBCDAQBCM（由塞瓦定理得）∴1AQQB，∴AQQB∵DPPCAQQB，∴DPPC．板块三梅涅劳斯定理、塞瓦定理综合非常挑战【备选】如图，E、F分别为ABC△的AC、AB边上的点，且3AEEC，3BFFA，BE、CF交于点P，AP的延长线交BC于点D．求:APPD的值．ABCDEFP【解析】∵P为ABC△的塞瓦点．∴11133AFBDCEBDFBDCEADC∴91BDDC，∴910BDBC．∵EPB为ACD△的梅氏线，∴911103APDBCEAPPDBCEAPD∴103APPD【备选】如图，四边形ABCD的对边AB和DC，DA和CB分别相交于点LK，，对角线AC与BD交于点M．直线KL与BD、AC分别交于点FG、．求证：KFKGLFLG．FGLKMDCBA【解析】对DKL△与点B应用塞瓦定理得：1DAKFLCAKFLCD．对DKL△和截线ACG应用梅涅劳斯定理可得：1DAKGLCAKGLCD．进而可得KFKGLFLG．