倍长中线与截长补短

1倍长中线与截长补短定义示例剖析倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．EDABC其中BDCD，延长AD使得DEAD，则BDECDA△≌△．例题精讲【例1】已知ABC△中，AD平分BAC，且BDCD，求证：ABAC．【解析】延长AD到E，使DEAD，连接CE．则CDEBDA△≌△，∴CEAB，CEDBAD，∵AD平分BAC，∴BADCAD，∴CEDCAD，∴CEAC，∴ABAC．【教师备选】教师可借用例1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳：已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1；已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展1；已知中线+高证等腰三角形，如拓展2．【拓展1】已知△ABC中，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，求证：AB=AC．【解析】∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°∴△ABD≌△ACD(SAS)题型一：倍长中线EABCDABCDABCD∴AB=AC．【拓展2】已知△ABC中，AD⊥BC，且BDCD，求证：AB=AC．【解析】∵AD⊥BC，且BDCD∴AD所在直线是线段BC的垂直平分线根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等故AB=AC．典题精练【例2】⑴如图，已知ABC△中，ABAC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BDAB．给出下列结论：①AD=2AC；②CD=2CE；③∠ACE=∠BCD；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是．【解析】①正确．∵ABAC，BDAB，∴AD=2AC．②、④正确．延长CE到F，使EFCE，连接BF．∵CE是AB的中线，∴AEEB．在EBF△和EAC△中AEBEAECBEFCEFE∴EBFEAC≌△△∴BFACABBD，EBFEAC∴FBCFBEEBCAACBDBC在FBC△和DBC△中FBDBFBCDBCBCBC∴FBCDBC≌△△∴2CDCFCE，∠FCB=∠DCB即CD=2CE，CB平分∠DCE．③错误．∵∠FCB=∠DCB，而CE是AB边上中线而不是∠ACB的角平分线故∠ACE和∠BCD不一定相等．⑵如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，给出下列结论：①BD=DE=EC；②AB+AE＞2AD；③AD+AC＞2AE；④AB+AC＞AD+AE，则以上结论正确的是．EDCBAFCAEBD3NMEDCBAEDCBA【解析】点D、E为边BC的三等分点，∴BD=DE=CE延长AD至点M，AE至点N，使得DM=AD，EN=AE，连接EM、CN，则可证明△ABD≌△MED，进而可得AB+AE＞2AD，再证明△ADE≌△NCE，进而可得AD+AC＞2AE，将两式相加可得到AB+AE+AD+AC＞2AD+2AE，即AB+AC＞AD+AE．∴①②③④均正确．【例3】如图，已知在ABC△中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，求证：ACBE．【解析】延长AD到G，使DGAD，连接BG∵BDCD，BDGCDA，ADGD∴ADCGDB△≌△，∴ACGB，GEAF又∵AFEF，∴EAFAEFBED∴GBED，∴BEBG，∴ACBE．【例4】在正方形ABCD中，PQ⊥BD于P，M为QD的中点，试探究MP与MC的关系．GFEDCBAFEDCBANABCDMPQQPMDCBA【解析】延长PM至点N，使PM=MN，连结CP、CN、DN．易证△PMQ≌△NMD，∴PB=PQ=DN，∠PQD=∠NDM∴PQ∥DN，又∵∠BPQ=∠BDN=90°∴∠PBQ=∠BDC=∠NDC=45°再证△BPC≌△DNC(SAS)易证△PCN为等腰直角三角形，又∵PM=MN，∴PM⊥MC,且PM=CM．5题型二：截长补短定义示例剖析截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段DCBA在线段AB上截取ADAC补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等ABCD延长AC，使得ADAB例题精讲【例5】在ABC△中，A的平分线交BC于D，ABACCD，40B，求C的大小．DCBAEDCBA【解析】在AB上截取AEAC，连接DE．∵AEAC，BADCAD，ADAD，∴ACDAED△≌△，∴CAED，CDDE，∵ABACCD，AEAC，∴CDBEDE∴40EBDEDB，80CAED思路导航DCBAEDCBADCEBAEDCBA典题精练【例6】如图，在ABC△中，2BC，BAC的平分线AD交BC于点D．求证：ABBDAC．【解析】方法一：（截长）在AC上截取ABAE，连接DE．在ABD△和AED△中ABAE，BADEAD，ADAD∴ABDAED△≌△∴BDED，BAED又∵2AEDEDCCBC∴EDCC，∴EDEC∴ABBDAC．方法二：（补短）延长AB到点E使得ACAE，连接DE．在AED△和ACD△中，AEAC，EADCAD，ADAD∴AEDACD△≌△，∴CE又∵22ABCEBDECBDE∴EBDE∴BEBD，∴ABBDAC．方法三：（补短）延长DB到点E使得ABBE，连接AE则有EABE，2ABCEEABE又∵2ABCC，∴CE∴AEACEADEABBADEDACCDACADE∴AEDE，∴ABBDEBBDEDAEAC∴AB+BD=AC若题目条件或求证结论中含有“abc”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.建议教师此题把3种解法都讲一下，方便学生更加深刻理解这种辅助线添加方法.7【例7】已知：在ABC△中，ABCDBD，ADBC，求证：2BC．【解析】方法一：在DC上取一点E，使BDDE，如图1，在ABD△和AED△中，ADBC，BDED，ADAD．∴ABDAED△≌△．∴ABAE，BAED．又∵AEABCDBDCDDEEC∴CEAC，∴2CEACAEDC∴2BC．图1EABCD图2EABCD方法二：延长DB到点E，使BEAB，如图2，∴EEAB．∵ABCDBD，∴EDCD．在AED△和ACD△中，ADBC，EDCD，ADAD．∴AEDACD△≌△．∴EC．∵2ABDE∴2BC．【探究对象】截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有：截长法：⑴过某一点作长边的垂线；⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短法：⑴延长短边。⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。DCBA【变式一】正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45°，求证：EF=DE+BF．GADBCEFFECBDA【解析】延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG由四边形ABCD是正方形得：ADG=ABF=90°，AD=AB又∵DG=BF∴△ADG≌△ABF（SAS）∴GAD=FAB，∴AG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90°=DAF+FAB=DAF+GAD=GAF∴GAE=GAFEAF=90°45°=45°∴GAE=FAE=45°又∵AG=AF，AE=AE∴△EAG≌△EAF（SAS）∴EF=GE=GD+DE=BF+DE【变式二】正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45°，请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？GFECBDAADBCEF【解析】数量关系为：EF=BFDE．理由如下：在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG由四边形ABCD是正方形得ADE=ABG=90°，AD=AB又DE=BG9∴△ADE≌△ABG（SAS）∴EAD=GAB，AE=AG由四边形ABCD是正方形得DAB=90°=DAG+GAB=DAG+EAD=GAE∴GAF=GAEEAF=90°45°=45°∴GAF=EAF=45°又∵AG=AE，AF=AF∴△EAF≌△GAF（SAS）∴EF=GF=BFBG=BFDE【变式三】正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45°，请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？FECBDAADBCEFG【解析】数量关系为：EF=DEBF.理由如下：在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG由四边形ABCD是正方形得ADG=ABF=90°，AD=AB又∵DG=BF∴△ADG≌△ABF（SAS）∴GAD=FAB，AG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90°=DAG+GAB=BAF+GAB=GAF∴GAE=GAFEAF=90°45°=45°∴GAE=FAE=45°又∵AG=AF，AE=AE∴△EAG≌△EAF（SAS）∴EF=EG=EDGD=DEBF【变式四】正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=60°，DB=DC，BDC=120°，请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？GABDCEFFECDBA【解析】数量关系为：EF=BE+FC，理由如下延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG由△ABC是正三角形得：ABC=ACB=60°又∵DB=DC，BDC=120°，∴DBC=DCB=30°∴DBE=ABC+DBC=60°+30°=90°，ACD=ACB+DCB=60°+30°=90°∴GCD=180°ACD=90°∴DBE=DCG=90°又∵DB=DC，BE=CG，∴△DBE≌△DCG（SAS）∴EDB=GDC，DE=DG又∵DBC=120°=EDB+EDC=GDC+EDC=EDG∴GDF=EDGEDF=12060°=60°∴GDF=EDF=60°又∵DG=DE，DF=DF∴△GDF≌△EDF（SAS）∴EF=GF=CG+FC=BE+FC【变式五】正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAD=15°，FAB=30°，AD=3，求△AEF的面积．HGADBCEFFECBDA【解析】延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG，过E作EHAG前面如变式一所证，11△ADG≌△ABF，△EAG≌△EAFGAD=FAB=30°，S△EAG=S△EAF在Rt△ADG中，GAD=30°，AD=3∴AGD=60°，AG=2设EH=x在Rt△EGH中和Rt△EHA中∵AGD=60°，HAE=45°∴HG=33x，AH=xAG=2=HG+AH=33xx，∴EH=x=33S△EAG=S△EAF=12EHAG=3．巅峰突破【例8】已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．⑴如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，有BM+DN=MN．当∠MAN绕点A旋转到BMDN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；⑵当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．【解析】⑴图1中的结论仍然成立，即BMDNMN．证明：如图2，在MB的延长线上截取BE=DN，连结AE．易证ABEADN△≌△（SAS）．∴AE=AN；∠EAB=∠NAD．90,45BADNAM∴45.BAMNAD∴45.EABBAM∴EAMNAM．又AM为公共边，∴AEMANM△≌△．∴ME=MN．∴MNMEBEB