固体理论讲义三

1.自旋波图像每一格点具有自旋角动量的晶格系统称为自旋晶格系统由于交互作用，自旋晶格系统的基态是磁性离子自旋排列的有序状态最常见的简单磁有序状态：铁磁序、反铁磁序、铁淦氧磁序依赖相邻磁离子自旋取向自旋晶格系统的元激发-磁振子系统受到微扰后的低激发态是什么形式？设铁磁体中某一格点上的自旋因扰动偏离量子化轴，那么（1）它将带动邻近格点自旋取向的改变；（2）邻近自旋对的作用使它恢复原来的取向。^lS^lS^lS形成离子自旋相对取向的振荡：由于各格点上进动自旋的方位角不同，类似波动的特性，这就是自旋波自旋波的量子称为磁振子磁振子是描述晶格自旋相对取向振荡的量子，是互作用系统的集体激发（声子是描述晶格离子间相对位移振荡的量子）电子自旋的概念1925年，Uhlenbeck和Goudsmit提出电子自旋的概念电子具有自旋及自旋角动量纯粹是量子特性；它是描述电子状态的第四个变量。（其它变量为x,y,z)(1)每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2zs(2)每个电子具有自旋磁矩，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：为波尔磁子。BBssMMmeMSmeMz2自旋角动量满足以下对易关系：^y^z^x^x^z^x^y^z^z^y^z^x^y^y^x^^^SiSSSSSiSSSSSiSSSSSiSS即42222zyxSSS由于由此得到自旋角动量平方算符的本征值为^2S为自旋量子数。其中21)1(43222222sssSSSSzyx两个电子的自旋函数(1)两个电子自旋相互反平行的态是单一的，我们称这种态为独态。(2)两个电子自旋相互平行的能级是三重简并的，对应于这些能级的态称为三重态。使自旋朝上变为朝下使自旋朝下变为朝上矩阵。为泡利^y^x^^y^x^^z^y^x^^z^y^x^^^1001,00,0110)(2iikjiiiPauliS2.海森伯模型（1）自旋-自旋相互作用系统的哈密顿量可表示为：'^',^''llllllSSJH)()'('''^llllllRlllJJllJlS这里交换积分两格点离子上电子间的与是自旋算符。个格子磁性离子的矢量代表第其中这就是海森堡模型海森堡模型是建立在下列一套假定之上的设两格点离子上各有一个自旋未配对的d电子，d电子间交换能作用势。为二格点系统的库仑互其中)()()()()()(12212211122*21*112rVdrdrrrrVrrJEex三重态）单重态）,(1,(01212sJsJEex上式等效地写为：s为两格点间组合自旋量子数两个d电子间交换能所对应的算符表示为：)41(21^2^112ssJHex因为43)121(21),1(22^21^2^^2^1^ssssssss那么1222^21^2^12^2^112)(21)41(21JsssJssJ10^2^1^1212sssssJJ或的本征值分别对应于总自旋算符和交换作用哈密顿为常数项，两格点离子间略去1221J^2^1122ssJHexexH来源于库仑势的交互作用项，互作用实为静电性的，不能理解为电子磁矩之间的直接磁作用。将上式推广到自旋大于1/2的情况，即每个离子上的自旋未配对d电子数大于1,两格点间交互作用能^2^112^1^112^2^112222SSJssJssJHjjiijiijex总自旋算符。分别为两格点上离子的其中，jjiisSsS^2^2^1^1,以上假设：1）同一格点离子上的电子间交互作用忽略不计；2）两格点间所有电子具有相同的交换积分。exH将对所有格点求和即的海森堡哈密顿由于交换作用是短程作用，可以只计算近邻格点间的作用JJSSJHlllll为各向同性的常数这里假定,^,^铁淦氧磁性。上式描述亚铁磁性。即不同）磁离子（时、且近邻格点为不同当铁磁性。时，上式可用于描述反当。时，上式基态为铁磁序当差。代表近邻格点间位置矢S000JJJ(2)海森堡哈密顿量的推导狄拉克在二十年代从理论上严格导出了海森堡模型。他考虑的是磁性绝缘体，即电子处于局域化状态。下面介绍s=1/2的推导：设晶体中有N个格点，每个格点上的离子只有一个未配对的局域态d电子。态矢量可用瓦尼尔函数作基函数表示：为瓦尼尔函数。)()()(,lralraCrll根据二次量子化的标准手续，交互作用为为两体库仑积分。'|'|)'()''()'()(''2133***2''''''',',rrddrrlralralralraeJCCCCJHllllllllllex对于绝缘体，无电子转移，每一个格点上只可能有一个未配对的d电子，应有d电子的单占据条件：1llllCCCC这里0100001010000001llllllllCCCCCCCC^^^^2121)1(21)1(21llllllzlllzlllCCCCCCCC将上述关系代入交换作用项：',^'^'',^'^'',^'^^'^^'^'',^'^^'^^'^^'^'','''''''''')1('411)(21'414141)1)(1(41)1)(1(41'21'21llllllllllllllllllzlzlllllllllzlzlzlzlllllllllllllllllllllllexSSJJJJCCCCCCCCCCCCCCCCJH在狄拉克理论的基础上，安德逊（P.W.Anderson）进一步证明了海森堡模型也适应于S1/2的情况3.铁磁自旋波理论对于铁磁体，交换积分J0；设有N个自旋为S的磁离子排列成晶格，我们通过近似解来求铁磁体自旋波的低激发态。（1）铁磁体的基态哈密顿H中所含矢量算符的三个分量有对易关系）循环，且设1,,(],['^^'^zyxSiSSllzlylxl在讨论自旋互作用系统特性时，我们把^^^^^^^zlylxllylxllSSiSSSiSS作为独立变量设z轴为量子化轴，则某一格点上的自旋态可用离子自旋S与算符的本征值m标记为|s,m^zlSmSmmSSmSmSmSmSSmSmSmSmSSzlll,|,|1,|)]1)([(,|1,|)]1)([(,|^2/1^2/1^。为自旋上升及下降算符个值。共^12,...,2,1,0lSSSm那么，铁磁系统的哈密顿可写为：,^^^^^^)(21'lllllzlzlSSSSSSJH则可严格证明铁磁体的基态为（各个格点自旋取向一致）：llNlSSSSSSSm||,|...|...||0|21，这里那么有以下关系和基态本征值：202,^^^:0|0|)'(0|00|JNZSEZJNZSSSJHSlZlZll基态本征值为为晶格的配位数。；（2）霍斯坦因-普里马可夫变换现在讨论自旋系统的低激发态：一个格点的自旋偏转由于相互作用会传播形成自旋波NllllNllllSSSSSSSSSSSSSS|...|1||...||)1(||...|1||...||)1(|212111121为了数学上（与声子）的相似性使H对角化方便，我们引入量：)2(2,...2,1,0),...,1,0(SnSnnSmmSn称为自旋偏离量子数。则有：产生偏离消灭偏离1|12|1|)1(2|^^nnnSnSnnnSnS是n的产生和消灭算符nnnaannnannna||1||1|1|量子数算符：作霍斯坦因-普里马可夫变换(HP变换，不改变对易关系))(2()2(^^^aaSSaaSaSaaaSSz这里满足玻色对易关系：0],[],[,1],[aaaaaa得到海森堡哈密顿的二次量子化表达式}22212221))({(',lllllllllllllllllaaaSaaSaaaSaaaaSaaSaaSJH由于对低激发态，每个自旋的平均偏离很小，这时可得将根号展开的近似哈密顿：)('2,20llllllllaaaaJSaaZJSNZJSH这里略去了算符的四次项（3）低激发态—自旋波上式第一项是基态能；第二项代表格点l上的自旋偏转能；最后两项为不同格点间的耦合。由于系统具有平移对称性；进一步将产生和消灭算符作傅里叶展开kkliklkkliklbeNabeNa2121lllikklllikkaeNbaeNb2121这里已不再是作用于某一格点上的算符，而是作用于所有格点的自旋波算符，代表自旋系统的集体坐标。kkbb,满足玻色对易关系：0],[],[,],[''''kkkkkkkkbbbbbb利用，求的对角化的哈密顿为')'(1kkllkkieN)1(2)(2000kkkkkkkkkkkkkkkkkZJSbbEbbbbZJSbbZJSEH为磁振子。代表自旋波的量子，称是自旋波频率，这里定义了结构因子：0101ikkkkkikkeZeZ有称性由于晶体的时间反演对22k22k23)(]})(211[{2)1(21||kJSafccbccsckJSkZJSZJSkkkk系：）有相同的长波色散关和、种晶格（立方系的：展开条件在低温下，可利用长波性作计算。关系时应结合晶体对称与波矢，因此，求自旋波频率的不同的晶体结构有不同的哈密顿量通常又称为自旋波近似因此，的本征向量，是与声子问题类似，度算符。代表自旋波量子的数密产生算符，是自旋波量子的消灭和0021^,...,,|,HHnnnnbbbbNkkkkk若计入算符的高阶项，可得作用。代表自旋波之间的相互1210...HHHHH自旋波模式只是线性理论的结果，而磁振子被称为系统的线性元激发如果考虑自旋波之间的相互作用，算符al的非线性方程，一维情况下有孤子解，因此，孤子代表系统的非线性元激发考虑自旋波之间的相互作用后对k的修正；温度升高会发生自旋波频率的软化现象。kkkbtbi4.铁磁体的低温磁化强度由于自旋算符满足玻色对易关系，因此温度T时所激发的平均量子数满足玻色分布：11/^TkTkkTkBkebbn对立方晶系，低温时所有自旋波模的总元激发个数：kBTkTkkSJakdVn*2233^1]/2exp[8设温度足够低，积分可近似在全k空间进行TkkSJaB2max222/322/3302/122/33^2)23()23(2122121221JSTkJSTkNaVedxxJSTkNaVnNBBkxBTk