《高等数学教学资料》1.1-84页PPT资料

函数1.1、区间、邻域1.区间(1)闭区间[a,b]={x|axb}ab(2)开区间(a,b)={x|axb}ab(a,b]={x|axb}(称为左开右闭区间)[a,b)={x|axb}(称为右开左闭区间)(3)半开闭区间ab(4)无穷区间[a,+)={x|xa},(a,+)={x|xa},(,b]={x|xb},(,b)={x|xb},(,+)={x|(x+}={x|xR}a+区间[1,4]与(1,4)的区间长度均为4(1)=5.区间(,2]与(1,+)的区间长度均为+.例1.2.邻域点x0的邻域:U(x0,)={x||xx0|,xR,0}=(x0,x0+)xU(x0,)|xx0|点x0的去心邻域:Û(x0,)={x|0|xx0|,xR,0}=(x0,x0)∪(x0,x0+)xÛ(x0,)0|xx0|点x0的某邻域，记为U(x0).点x0的某去心邻域，则记为Û(x0).点x0=3的=0.1邻域为U(3,0.1)=(30.1,3+0.1)=(2.9,3.1);例2.点x0=3的去心=0.1邻域为Û(3,0.1)=(2.9,3)∪(3,3.1);设为X,Y为两个非空集.若存在某个对应规则f,使xX,均有唯一确定的yY与之对应,则称f是从X到Y的一个映射,记为f:XY或记为f:xy,习惯上记为y=f(x).二、映射y称为x在映射f下的像,集X称为映射f的定义域,记为Df;X中所有元素在映射f下的像的集合(即f(X))称为映射f的值域,记为Rf,一般说来,RfY.注意:1)映射是集合间的一种对应关系.集合X、Y中所含的元素不一定是数,可以是其它的一些对象(或事物).2)对每一个xX,只有唯一的一个yY值与之对应,这一点很重要,它说明集合间元素的对应关系不一定就是映射.3)映射的定义不排除几个不同的x值与同一个y值对应.RfXYfy2x1x2x3y1映射设f为集X到集Y的一个映射,如果xX,存在唯一的y=f(x)Y与之对应,反过来,yY,存在唯一的使y=f(x)的xX与之对应,则称f是X到Y的一一对应.设f是X到Y的一一对应,则有;)()(,,,)122112121yxfxfyxxXxx则若).)((R)2YXfYf或设为X,Y为两个非空集.若存在某个对应规则f,使xX,均有唯一确定的yY与之对应,则称f是从X到Y的一个映射,记为f:XY或记为f:xy,习惯上记为y=f(x).二、映射y称为x在映射f下的像,集X称为映射f的定义域,记为Df;X中所有元素在映射f下的像的集合(即f(X))称为映射f的值域,记为Rf,一般说来,RfY.注意:1)映射是集合间的一种对应关系.集合X、Y中所含的元素不一定是数,可以是其它的一些对象(或事物).2)对每一个xX,只有唯一的一个yY值与之对应,这一点很重要,它说明集合间元素的对应关系不一定就是映射.3)映射的定义不排除几个不同的x值与同一个y值对应.RfXYfy2x1x2x3y1映射设f为集X到集Y的一个映射,如果xX,存在唯一的y=f(x)Y与之对应,反过来,yY,存在唯一的使y=f(x)的xX与之对应,则称f是X到Y的一一对应.设f是X到Y的一一对应,则有;)()(,,,)122112121yxfxfyxxXxx则若).)((R)2YXfYf或一、函数的基本概念1.函数的定义设X、Y为非空实数集,则从X到Y的映射f称为函数,记为f:XY,或y=f(x),X称为函数的定义域,记为Df.习惯上,称x为自变量,称f(x)或y=f(x)为函数.三、函数x0X,称y0=f(x0)为函数y=f(x)在点x0处的函数值(此时称函数f在点x0处有定义).函数的值域,记为Rf={y|y=f(x),xX}.一般说来,RfY.函数的表示法有以下三种:解析法(公式法)、表格法、图示法.例1..)1ln(142的定义域求函数xxy解:]2,2[04,2xx得由负数不能开偶次方),1(01,xx得由对数函数的定义域2110)1ln(,xxx得由分母不能为零综上所述,原函数的定义域为D=(1,2).例2..20202,2的定义域求函数xxxxy该函数为分段函数,它的定义域为D=[2,0)∪(0,2]解:分段函数是一个在自变量的不同取值范围内具有不同的对应关系的函数,即在定义域的一些不相重叠的真子集上,用不同的表达式表示的函数.例3.000,1,0,1sgnxxxxy该函数称为符号函数.1xy01y=sgnxxR,取整函数y=[x]=n,nxn+1,nZ,它是一个分段函数.例4.将x表示为:x=“整数”+“正的小数”或“零”,则取整函数y=[x]=“整数”.;1]2[,4142.012;1]5.0[,5.015.0;3]7.2[,3.037.2;3]3[,033.3]3[,0332xy0121231y=[x]函数f(x)=lnx2与g(x)=2lnx是否相同?当两个函数的定义域与对应关系均相同时,两个函数才相同.),,0()0,(D)(fxf的定义域为),0(D)(gxg的定义域为.)()(不相同与xgxf例5.解:例6.?)(||)(2是否相同与函数xxgxxf解:,)()(Rxgxf的定义域均为实数域与,)()(|,|2的对应关系相同与即又xgxfxx.)()(相同与函数xgxf2.函数的图形在平面上建立直角坐标系Oxy,则xy平面上的点集称为函数y=f(x)的图形.{(x,y)|y=f(x),xDf}例7.狄利克雷函数就不能作出几何图形:为无理数为有理数xxxDy,0,1)(二、函数的性质1.单调性设函数y=f(x)在区间I上有定义,x1,x2I若x2x1f(x2)f(x1),则称在区间I上单调增加,记为f(x)I;若x2x1f(x2)f(x1),则称在区间I上单调减少,记为f(x)I;若x2x1f(x2)f(x1),则称在区间I是不减少的;若x2x1f(x2)f(x1),则称在区间I是不增加的;函数的单调性是一个局部性的性质,它与区间I有关.例8..sin,]23,2[x上在;sin,]2,2[x上但在y=sinx在其定义域内不是单调函数,例9.证明函数y=x3在其定义域内单调增加.y=x3的定义域为(,),))((21212212313212xxxxxxxxyy证:x1,x2(,),不妨设x1x2,则|||||,|||2122212121xxxxxxxx0||||212122212122xxxxxxxx.,0),(312xyyy即从而21xx由2.有界性设函数y=f(x)在区间I上有定义.若存在两个数A,B,对一切xI恒有Af(x)B,则称函数y=f(x)在区间I上有界,否则,称函数y=f(x)在区间I上无界.函数y=f(x)在区间I上有界M0,使|f(x)|M.若函数y=f(x)在区间I上有界,则它的图形夹在两条水平线y=A和y=B之间.y=f(x)xxyyAABBOOy=f(x)函数的有界性设函数y=f(x)在区间I上有定义.若存在实数M(可正可负),对一切xI恒有f(x)M成立,则称函数y=f(x)在区间I上是上方有界的,简称有上界;若存在实数m(可正可负),对一切xI恒有f(x)m成立,则称函数y=f(x)在区间I上是下方有界的,简称有下界.xOOmMyyx有上界有下界在区间I上:f(x,y)有界f(x,y)既有上界又有下界.).(sup,I,,I)(Ixfxfyx记为上的上确界区间函数在所有上界中最小者称为无穷多个上界则必有上有上界在区间若函数).(inf,I,,I)(Ixfxfyx记为上的下确界区间函数在所有下界中最大者称为无穷多个下界则必有上有下界在区间若函数在区间I上,有上界的函数必有确界,有下界的函数必有下确界.函数y=f(x)在区间I上无界,则不论M0的值取得多么大,总x0I,使得|f(x)|M成立.证明或判断无界,通常依据:例10.函数y=x2在其定义域Df=(,)内是无界的.解:.1)1(|)(|2100成立有MMMyxfMx,1,00MxM取因为讨论函数y=x2的有界性.3.奇偶性设函数y=f(x)的定义域Df关于坐标原点对称,若xDf,有f(x)=f(x)成立,则称f(x)为偶函数;xDf,有f(x)=f(x)成立,则称f(x)为奇函数;奇函数的图形关于坐标原点对称,偶函数的图形关于y轴对称.指出下列函数在其定义域内哪些是奇函数,哪些是偶函数:1)y=sinx2)y=cosx3)y=x4)y=x+x45)y=|x|6)y=57)y=sgnx)1ln()82xx例11.1)、3)、7)、8)为奇函数,解:4)既不是奇函数又不是偶函数.2)、5)、6)为偶函数,定理1.一个偶函数与一个奇函数的积是一个奇函数.两个偶(奇)函数之积均为一个偶函数.两个偶(奇)函数之和仍是一偶(奇)函数.在关于坐标原点对称的区间I内:在关于坐标原点对称的区间I内有定义的任何一个函数f(x),均可表示为区间I内的一个偶函数与一个奇函数之和的形式.定理2.定理2证明提示:)()()(,2)()()(,2)()()(xhxgxfxfxfxhxfxfxg则令4.周期性设函数y=f(x),x(,),若存在0,对一切x(,)恒有y=f(x)=f(x),则称f(x)为周期函数,为函数f(x)的一个周期.如果一个周期函数有最小正周期存在,记为T=min{},0,则称T为周期函数的周期.y=sinx的最小正周期T=2,而=2k(kZ且k0)均为它的周期,故称正弦函数y=sinx的周期为2.例12.三、基本初等函数将以下六种最简单函数称为基本初等函数:1.常值函数y=C(C为常数).2.幂函数y=x(R为常数).3.指数函数y=ax(a0,a1).4.对数函数y=logax(a0,a1).5.三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx.6.反三角函数y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx,y=arcsecx,y=arccscx.四、复合函数与反函数1.复合函数称y=(f·g)(x)=f(g(u))为函数y=f(u)与u=g(x)复合而成的复合函数.其中,u称为中间变量.y=(f·g)(x)=f(g(u))xDg)D~(gx或设有映射y=f(u),uDf及u=g(x),xDg,如果对于映射g(x)的定义域Dg(或定义域的一部分)中的每一个x所对应的u值,都属于f(u)的定义域Df,那么,将u=g(x)代入y=f(u)消去u后,就有gD~y=(f·g)(x)=f(g(u))gD~Dgu=g(x)y=f(u)DfRfRguyxRgDf复合函数例13.].1,1[1,,1),0[,22xxyRxxuuuy的定义域为数则由它们构成的复合函及设有函数例14.?)1ln(arccos2函数复合而成是由哪几个函数xy解:,arccosuy它是由以下几个函数复合而成:.12xw,lnwv,vu2.反函数自由落体运动中,选时间t为自变量,则;选位移s为自变量,则有.习惯上,称为函数的反函数,而称为直接函数.221gtsgst2gst2221gts221gts设函数