2015年考研数学一真题及答案

第1页共12页2015年考研数学（一）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)设函数()fx在,内连续，其中二阶导数()fx的图形如图所示，则曲线()yfx的拐点的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】（C）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()fx的图形可得，曲线()yfx存在两个拐点.故选（C）.(2)设211()23xxyexe是二阶常系数非齐次线性微分方程xyaybyce的一个特解，则()(A)3,2,1abc(B)3,2,1abc(C)3,2,1abc(D)3,2,1abc【答案】（A）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212xe、13xe为二阶常系数齐次微分方程0yayby的解，所以2,1为特征方程20rarb的根，从而(12)3a，122b，从而原方程变为32xyyyce，再将特解xyxe代入得1c.故选（A）(3)若级数1nna条件收敛，则3x与3x依次为幂级数1(1)nnnnax的()(A)收敛点，收敛点海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（）海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（）第2页共12页(B)收敛点，发散点(C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点【答案】（B）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.【解析】因为1nna条件收敛，即2x为幂级数1(1)nnnax的条件收敛点，所以1(1)nnnax的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnnnax的收敛区间还是(0,2).因而3x与3x依次为幂级数1(1)nnnnax的收敛点，发散点.故选（B）.(4)设D是第一象限由曲线21xy，41xy与直线yx，3yx围成的平面区域，函数,fxy在D上连续，则,Dfxydxdy()(A)13sin2142sin2cos,sindfrrrdr(B)1sin23142sin2cos,sindfrrrdr(C)13sin2142sin2cos,sindfrrdr(D)1sin23142sin2cos,sindfrrdr【答案】（B）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D的图形，所以(,)Dfxydxdy1sin23142sin2(cos,sin)dfrrrdr，故选（B）(5)设矩阵21111214Aaa，21bdd，若集合1,2，则线性方程组Axb有xyo海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（）海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（）第3页共12页无穷多解的充分必要条件为()(A),ad(B),ad(C),ad(D),ad【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)Abadadadaadd，由()(,)3rArAb，故1a或2a，同时1d或2d.故选（D）(6)设二次型123,,fxxx在正交变换为xPy下的标准形为2221232yyy，其中123,,Peee，若132,,Qeee，则123,,fxxx在正交变换xQy下的标准形为()(A)2221232yyy(B)2221232yyy(C)2221232yyy(D)2221232yyy【答案】(A)【解析】由xPy，故222123()2TTTfxAxyPAPyyyy.且200010001TPAP.由已知可得:100001010QPPC故有200()010001TTTQAQCPAPC所以222123()2TTTfxAxyQAQyyyy.选（A）海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（）海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（）第4页共12页(7)若A,B为任意两个随机事件，则()(A)PABPAPB(B)PABPAPB(C)2PAPBPAB(D)2PAPBPAB【答案】(C)【解析】由于,ABAABB，按概率的基本性质，我们有()()PABPA且()()PABPB，从而()()()()()2PAPBPABPAPB，选(C).(8)设随机变量,XY不相关，且2,1,3EXEYDX，则2EXXY()(A)3(B)3(C)5(D)5【答案】(D)【解析】22[(2)](2)()()2()EXXYEXXYXEXEXYEX2()()()()2()DXEXEXEYEX23221225，选(D).二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)20lncoslim_________.xxx【答案】12【分析】此题考查00型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：2000sinln(cos)tan1coslimlimlim.222xxxxxxxxxx方法二：2222200001ln(cos)ln(1cos1)cos112limlimlimlim.2xxxxxxxxxxxx(10)22sin()d________.1cosxxxx【答案】2π4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（）海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（）第5页共12页【解析】22202sin2.1cos4xxdxxdxx(11)若函数(,)zzxy由方程cos2xexyzxx确定，则(0,1)d________.z【答案】dx【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令(,,)cos2zFxyzexyzxx，则(,,)1sin,,(,,)zxyzFxyzyzxFxzFxyzexy又当0,1xy时1ze，即0z.所以(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)yxzzFFzzxFyF，因而(0,1).dzdx(12)设是由平面1xyz与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.xyzdxdydz【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算.【解析】由轮换对称性，得10(23)66zDxyzdxdydzzdxdydzzdzdxdy，其中zD为平面zz截空间区域所得的截面，其面积为21(1)2z.所以112320011(23)66(1)3(2).24xyzdxdydzzdxdydzzzdzzzzdz(13)n阶行列式20021202___________.00220012【答案】122n【解析】按第一行展开得海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（）海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（）第6页共12页1111200212022(1)2(1)2200220012nnnnnDDD221222(22)2222222nnnnDD122n(14)设二维随机变量(,)xy服从正态分布(1,0;1,1,0)N，则{0}________.PXYY【答案】12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)XNYN，而且XY、相互独立，从而{0}{(1)0}{10,0}{10,0}PXYYPXYPXYPXY11111{1}{0}{1}{0}22222PXPYPXPY.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设函数ln(1)sinfxxaxbxx，3()gxkx，若fx与gx在0x是等价无穷小，求,,abk的值.【答案】,,.abk11123【解析】法一：原式30ln1sinlim1xxaxbxxkx2333330236lim1xxxxxaxoxbxxoxkx2343301236lim1xaabaxbxxxoxkx即10,0,123aaabk111,,23abk海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（）海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（）第7页共12页法二：30ln1sinlim1xxaxbxxkx201sincos1lim13xabxbxxxkx因为分子的极限为0，则1a2012cossin1lim16xbxbxxxkx，分子的极限为0，12b022sinsincos13lim16xbxbxbxxxk，13k111,,23abk(16)(本题满分10分)设函数fx在定义域I上的导数大于零，若对任意的0xI，由线=yfx在点00,xfx处的切线与直线0xx及x轴所围成区域的面积恒为4，且02f，求fx的表达式.【答案】fxx8()4.【解析】设fx在点00,xfx处的切线方程为：000,yfxfxxx令0y，得到000fxxxfx，故由题意，00142fxxx，即000142fxfxfx，可以转化为一阶微分方程，即28yy，可分离变量得到通解为：118xCy，已知02y，得到12C，因此11182xy；即84fxx.(17)(本题满分10分)海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（