数字信号处理-证明题(32道)-1

题干证明DFT的对称定理，即假设X(k)=DFT［x(n)］，证明：DFT［X(n)］=Nx(N－k)答案证：因为：10()()NknNnXkxnW所以：111000DFT[()]()()NNNknmnknNNNnnmXnXnWxmWW11()00()NNnmkNmnxmW由于：1()00,01NnmkNnNmNkWmNkmN所以：DFT［X(n)］=Nx(N－k)k=0,1,…,N－1题干如果X(k)=DFT［x(n)］，证明DFT的初值定理：101(0)()NkxXkN答案证:由IDFT定义式：可知：题干证明:若x(n)为实序列，()[()]NXKDFTxn则X(k)为共轭对称序列，即*()()XKXNk。答案101,,1,0)(1)(NkknNNnWkXNnx101(0)()NkxXkN证:由DFT的共轭对称性。将x(n)表示为x(n)=xr(n)+jxi(n)则：X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k)其难：Xep(k)=DFT［xr(n)］，是X(k)的共轭对称分量；Xop(k)=DFT［jxi(n)］,是X(k)的共轭反对称分量。所以：如果x(n)为实序列，则Xop(k)=DFT［jxi(n)］=0，故X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)，即*()()XKXNk。题干证明：若x(n)实偶对称，即x(n)=x(N－n)，且()[()]NXKDFTxn则X(k)也实偶对称。答案证明：由DFT的共轭对称性可知，如果x(n)=xep(n)+xop(n)则：X(k)=Re［X(k)］+jIm［X(k)］则：Re［X(k)］=DFT［xep(n)］,jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］所以：当x(n)=x(N－n)时，等价于上式中xop(n)=0,x(n)中只有xep(n)成分，所以X(k)只有实部，即X(k)为实函数。又实序列的DFT必然为共轭对称函数，即X(k)=X*(N－k)=X(N－k)，所以X(k)实偶对称。题干证明：若x(n)实奇对称，即x(n)=－x(N－n)，且()[()]NXKDFTxn则X(k)为纯虚函数并奇对称。答案证明：由DFT的共轭对称性可知，如果x(n)=xep(n)+xop(n)则：X(k)=Re［X(k)］+jIm［X(k)］则：Re［X(k)］=DFT［xep(n)］,jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］所以：当x(n)=－x(N－n)时，等价于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0），故X(k)只有纯虚部，且由于x(n)为实序列，即X(k)共轭对称，X(k)=X*(N－k)=－X(N－k),为纯虚奇函数。题干证明频域循环移位性质：设X(k)=DFT［x(n)］，Y(k)=DFT［y(n)］，如果Y(k)=X((k+l))NRN(k)，则答案证：令m=k+l,则题干证明离散帕塞瓦尔定理。若X(k)=DFT［x(n)］，则答案证：ln()IDFT[()]()NnYkWxny101()IDFT[()]()NknNkynYkYkWN101(())NknNNkXklWN1()01(())NlnklnNNNkWXklWN1ln1()(())NmnNNNmlynWXmWN1lnln01()()NmnNNNmWXmWWxnN1122001|()||()|NNnkxnXkN112*0011|()|()()NNkkXkXkXkNN*11001()()NNknNknXkxnWN11*001()()NNknNnkxnXkWN11*200()()|()|NNnnxnxnxn题干若X(K)=DFT[x(n)]N,证明X(K)是隐含周期的，其周期为N。答案证明：m对任意整数，,,kmNI题干kNW证明的周期性，即kkmNNNWW其中:k,m为整数，N为自然数答案222222()2(cos2sin2)NNNNNNjkmNkmNNjkjmNjkjmjkjkkNWeeeeeemjmeW证明：题干*[()]()DFTxnXNk证明：答案证明：11()00()()()()NNkmNnknNNnnXkmNxnWxnWXk[()]()DFTxnXk若：0~1kN1*()*0()[()]NNknNnXNkxnW1*()0()NNknNnxnW1*0()NnNknNNnxnWW1*0()NknNnxnW*[()]DFTxn22cos(2)sin(2)1NjnNnNjnNWeenjn其中：题干()rixnxnjxn若:repDFT[x(n)]=X()k证明答案证明：题干()epopxnxnxn若：()KepR证明DFT[x(n)]=X答案证明：题干()rixnxnjxn若:iopDFT[jx(n)]=X()k证明答案[()][Re[()]]rDFTxnDFTxn*12[[()()]]DFTxnxn*12[()()]XkXNk()epXk*12[()][[()()]]epDFTxnDFTxnxNn*12[()()]XkXkRe[()]()RXkXk证明：题干()epopxnxnxn若：[()]()opIDFTxnjXK证明：答案证明：题干证明:2NkKNNWW答案证明：题干证明：N2kkNW(1)答案证明：2NNN22jkkkNWecos(k)jsin(k)(1)[()]iDFTjxn*12[[()()]]DFTxnxn*12[()()]XkXNk()opXk*12[()][[()()]]opDFTxnDFTxnxNn*12[()()]XkXkIm[()]()IjXkjXk2NNN22j(k)keNW22NNN2jkjee2Njke[cosjsin]kNW题干证明：mNmNNWW答案证明：22222()(cos2sin2)NNNNNjNmjNjmNmNjmjmmNWeeejeW题干证明：*[]NmmNNWW答案证明：22()**2()2[][]jmNjNmNmNNjNmjNmNWeeeeW题干证明答案证明：22jKNJjKJKJKNNNJWeeW题干证明DFT的线性性质即：若则：其中：a、b为常数答案证明：12()()()ynaxnbxn/kJkNNJWW)()()]([DFT)(21kbXkaXnykY121212121212()()():()[()][()()][()()]()()()()()()jjwnnjwnjwnnnjwnjwnnnjjynaxnbxnYeFTynFTaxnbxnaxnbxneaxnebxneaxnebxneaXebXe令：则题干证明FT的线性性质。即设X1(ejω)=FT［x1(n)］,X2(ejω)=FT［x2(n)］,那么jj1212FT[()()](e)(e)axnbxnaXbX式中,a，b是常数答案证明：121212121212()()():()[()][()()][()()]()()()()()()jjwnnjwnjwnnnjwnjwnnnjjynaxnbxnYeFTynFTaxnbxnaxnbxneaxnebxneaxnebxneaXebXe令：则题干将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，证明：[()]()jreFTxnxe答案证明：jjnerrnXeFTxnxnejjnjerenXexneXe实序列的Fourier变换具有共轭对称性题干将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，证明：[()]()jioFTjxnxe答案证明：jjnoinXejxnejjnjoionXejxneXe虚数Fourier变换具有共轭反对称性题干()()eoxnxnxn将序列x(n)分解为共轭对称序列和共轭反对称序列即：证明：jeRFT[()](e)xnX答案证明：j*jjjeR1FT[()][(e)(e)]Re[(e)](e)2xnXXXX序列x(n)的共轭对称部分xe(n)对应着X(ejω)的实部XR(ejω)题干()()eoxnxnxn将序列x(n)分解为共轭对称序列和共轭反对称序列即：证明：joIFTxnjXe答案证明：12ImjjojjIFTxnXeXejXejXe序列x(n)的共轭反对称部分xo(n)对应着X(ejω)的虚部(包括j)。题干证明时域卷积定理，即设y(n)=x(n)*h(n)则：Y(ejω)=X(ejω)H（ejω）答案证明：()()()mynxmhnmjj(e)FT[()][()()]ennmYynxmhnm令k=n－m，则:jjj(e)()()eeknkmYhkxmjj()e()eknkmhkxmjj(e)(e)HX题干设x(n)是因果序列，X(z)=ZT［x(n)］，则(0)lim()zxXz答案证明：120()()(0)(1)(2)nnXzxnzxxzxz因此：lim()(0)zXzx题干设w(n)=x(n)*y(n)X(z)=ZT［x(n)］Rx－|z|Rx+Y(z)=ZT［y(n)］Rx－|z|Ry+1证明;W(z)=ZT［w(n)］=X(z)Y(z)Rw－|z|Rw+Rw+=min［Rx+,Ry+］Rw-=max［Rx-,Ry-］答案证明：()[()()]WzZTxnyn()[()()]()[()]()()()()nnmnmnmnMmnxmynmzxmynmzxmzynmzXzYzW(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。题干设m(n)=ax(n)+by(n)a,b为常数X(z)=ZT［x(n)］Rx-|z|Rx+Y(z)=ZT［y(n)］Ry-|z|Ry+则:M(z)=ZT［m(n)］=aX(z)+bY(z)Rm-|z|Rm+Rm+=min［Rx+,Ry+］;Rm-=max［Rx-,Ry-］答案证明：[()][()()][()()]()()()()()()nnnnnnnnnnZTmnZTaxnbynaxnbynZaxnZbynZaxnZbynZaXZbYZRm-|z|Rm+Rm+=min［Rx+,Ry+］;Rm-=max［Rx-,Ry-］题干证明：FT的周期性。即证明FT的周期是2。答案证明：j(2π)j(2π)jj(e)()e()e(e)MMnnnnXxnxnXＭ为整数题干证明线