初中数学因式分解的几种经典技巧

1初中数学因式分解的几种经典方法息县六中陈岳因式分解是初中一个重点，它牵涉到分式方程，一元二次方程，所以很有必要学会一些基本的因式分解的方法。下面列举了九种方法，希望对大家的学习能有所帮助。【1】提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例一：22x-3x=0解：x(2x-3)=01x=0,2x=3/2这是一类利用因式分解的方程。总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式这对我们后面的学习有帮助。【2】公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等注意：使用公式法前，建议先提取公因式。2例二：2x-4分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=22，适用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)2解：原式=(x+2)(x-2)【3】十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数21.aa的积21.aa，把常数项c分解成两个因数21.cc的积21.cc，并使1221caca正好是一次项b，那么可以直接写成结果例三：把22x-7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)：2＝1×2＝2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：311╳231×3+2×1=513╳211×1+2×3=71-1╳2-31×(-3)+2×(-1)=-51-3╳2-11×(-1)+2×(-3)=-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解原式=(x-3)(2x-1).4总结：对于二次三项式2ax+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=21.aa，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=21.cc，把2121,,,ccaa，排列如下：1a1c╳2a2c1221caca按斜线交叉相乘，再相加，得到1221caca，若它正好等于二次三项式2ax+bx+c的一次项系数b，即1221caca=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式1ax+c1与22cxa之积，即2ax+bx+c=(1ax+1c)(2ax+2c).这种方法要多实验，多做，多练。它可以包括前两者方法。【4】分组分解法也是比较常规的方法。一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来需要可持续性！5例四：2244yxx可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式解：原式=22)2(yx=(x+2+y)(x+2-y)总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。【5】换元法整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上例五：1)(2)(2yxyx分解因式考虑到x+y是以整体出现，展开是十分繁琐的，用a代替x+y那么原式=2a-2a+1=2)1(a回代原式=2)1(yx6【6】主元法这种方法要难一些，多练即可即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数例六：4222)1()1(216xyyxy分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y为主元会使原式极其烦琐，而以x为主元的话，原式的难度就大大降低了。原式=yxyxy16)1(2)1(2242---------------------【主元法】=)2)(82(22222xyxyxyx---------------------【十字相乘法】可见，十字相乘十分重要。【7】双十字相乘法7难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如feydxcybxyax22的二次六项式在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k）要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，例七：22babab分解因式解：原式＝0×1×2a＋ab＋2b＋a－b－2＝（0×a＋b＋1）（a＋b－2）＝（b＋1）（a＋b－2）【8】待定系数法将式子看成方程，将方程的解代入这时就要用到【1】中提到的知识点了当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式8例八：2x+x-2该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法我们可以把它当方程做，2x+x-2=0一眼看出，该方程有一根为x=1那么必有一因式为(x-1)结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2（因为乘-1要为-2）一次项系数必为1（因为与1相乘要为1）所以另一因式为（x+2）分解为(x-1)(x+2)【9】列竖式让人拍案叫绝的方法。原理和小学的除法差不多。要建立在待定系数法的方程法上不足的项要用0补除的时候，一定要让第一项抵消9例九：25323xx分解因式提示：x=-1可以使该式=0，有因式（x+1）那么该式分解为（x+1）(23x+2x-2)因式分解还有许多方法，只是不太常见，就不在此列举了。考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。22)()(babab102222)(4)(axaxxa3222223963cabcbacbaxy＋6－2x－3y22)3(4)3)(3(4)3(babababa(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4)12x^2－29x＋15x(y＋2)－x－y－13244422yxyxyx21120132234xxxx3355227222yxyxyx22384nmnm1115442nn5ax+5bx+3ay+3by12a2b(x－y)－4ab(y－x)(x－1)2(3x－2)＋(2－3x)x2－11x＋24y2－12y－28x2＋4x－5y4－3y3－28y2蚊子与牛一样重从前有一只骄傲的蚊子，总认为自己的体重和牛是一样重。有一天，它找到了牛，并说出了体重一样的理由。它认为，可以设自己的体重为a,牛的体重为b，则有：a2－2ab＋b2=b2－2ab＋a2左右两边分别因式分解为：(a－b)2=(b－a)2从而就有：a－b=b－a移项，得：2a=2b,即a=b蚊子骄傲地把自己的理由说完，牛睁大了眼睛，听傻了！①请同学们想一想，牛和蚊子的体重真的会一样吗？若不一样，12那么蚊子的证明究竟错在哪里呢？②讲这个例子的目的何在？