矢量分析与场论讲义PPT

§1场的概念（Field）一、场的概念场是用空间位置函数来表征的。若对全空间或其中某一区域V中每一点M,都有一个数量(或矢量)与之对应,则称在V上确定了一个数量场(或矢量场).场都是矢量场。例如:温度场和密度场都是数量场,重力场和速度若场中物理量在各点处的对应值不随时间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场。注引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来进行计算和研究它的性质.2.场的性质是它本身的属性,和坐标系的引进无关.1.场的特点：①分布于整个空间，看不见，摸不着，只能借助仪器进行观察测量，靠人脑去想像其分布情况；②具有客观物质的一切特征，有质量、动量和能量。3、描述方法①函数表示法：借助一定坐标系下的函数来表示场的分布。对矢量场，用；数量场常用表述。Axyz(,,)uxyz(,,)②几何表示法，也叫图示法：用能反映场性质和分布的一族曲线或曲面表示场的分布特征，分别称为矢量线（像电力线、磁力线）；等值面（像等温面，等位面）。二、数量场、矢量场的描述方法以下讨论中总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数。因此给定了某个数量场就等于给定了一个数性函数(,,),uuxyz在引进了直角坐标系后,点M的位置可由坐标确定。同理,每个矢量场都与某个矢性函数(,,)(,,)i(,,)j(,,)kxyzAxyzAxyzAxyzAxyz并假定它们有一阶连续偏导数。相对应.这里为所定义区域上的数性函数,,,xyzAAA数量场的等值面（线）：是由场中使u取相同数值的点所组成的曲面。（c值不同对应不同等值面）(,,)()uxyzcc为常数等值面3c1c2c其方程为(,)uxyc等值线在某一高度上沿什么方向高度变化最快？直观表示数量u在场中的分布。以温度场为例：热源等温面等值面举例可以看出：数量场的函数是单值函数，各等值面是互不相交的。矢量场的矢量线：矢量线上每一点处曲线与对应于该点的矢量相切。直观描述矢量在场中的分布情况。2.矢量线连续分布，一般互不相交。图2矢量线ArMxyzol观察：1.在曲线上的每一点M处，场的矢量都位于该点处的切线上（如图所示），称其为矢量线。例：静电场电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等。MA(r)drr•O•矢量线的微分方程：M点位置矢量线l微分ijkxyzAAAArijkxyzlrijkdddxdydz场矢量l矢量线在这点的切线的方向余弦和矢量线上的成比例，从而得到矢量线应满足的微分方程dzdydx,,xyzdxdydzAAA在场矢量不为零的条件下，由线性微分方程组的理论可知所考虑的整个场被矢量线所填满，而通过场中每一点有一条且只有一条这样的曲线，且过不同的点的两条矢量线没有公共点。A例2求矢量场M(2,1,1)通过点Axziyzjxyk22()的矢量线方程。【例1】设点电荷q位于坐标原点，它在空间一点M(x,y,z)处所产生的电场强度矢量为式中，q、ε均为常数，r=xi+yj+zk为M点的位置矢量。求E的矢量线方程并画出矢量线图。qErr34整理求解作图矢量的直角坐标系方程矢量线的微分方程解题过程：zyxyCx1图点电荷的电场矢量线(P27)zCy22、方向导数方向导数是数性函数在一点处沿任意方向对距离的变化率，它的数值与所取的方向有关，一般来说，在不同的方向上的值是不同的，但它并不是矢量。如图所示，为场中的任意方向，M0是这个方向线上给定的一点，M为同一线上邻近的一点。luM()lMul0lM0Mll为M0和M之间的距离，从M0沿到M的增量为若下列极限存在，则该极限值记作，称之为数量场在M0处沿的方向导数。luuMuM0()()lluMuMull000()()limlimluM()Mul0luuuulxyzcoscoscoslˆ(cos,cos,cos)例题例1求函数M(1,0,1)在点处沿uxyz222方向的方向导数。lijk22例3设Mxyz(,,)为点处的矢径r的模，rxyz222试证：rgradrrr例4求数量场M(2,1,1)在点处的梯度uxyyz23方向的方向导数。lijk22及在矢量3、梯度由于从一点出发，有无穷多个方向，即数量场沿某一确定方向取得在该点的最大方向导数，则可引进梯度概念。uM()在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过一点梯度：（场在某点的梯度为一矢量）它的大小等于所有方向导数的最大值，它的方向为取得最大值的方向。uuugraduijkuxyz梯度(Gradient)ˆˆcos(,)uGlGGllGijkuuugraduxyz梯度、方向导数与等值面ulGuc1cc21nˆl当,即与ˆ(,)0GlˆlGˆcosicosjcosklul方向一致时,为最大。u0,llu0,ll沿增加沿降低ugradulgradugradullˆˆcos(,)总结：数量场梯度的性质（1）数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在该方向的投影。（2）数量场在任一点的梯度垂直于过该点的等值面，且指向场增大的一方。（注意：等值面的法向有两个）（3）一个数量场的梯度（一旦）确定，则该数量场也随之确定，最多相差一个任意常数标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在该方向的投影。例1三维高度场的梯度图三维高度场的梯度例2电位场的梯度图电位场的梯度梯度、方向导数与等值面ulGuc1cc21nˆl§3矢量场的通量与散度1、通量一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场方向通过的流量是dQ，而dQ是以ds为底，以vcosθ为高的斜柱体的体积，即称为矢量通过面元的通量。对于有向曲面s，总可以将s分成许多足够小的面元，于是vdsdQvcosdsvdsθdsvnˆdsdsv通过曲面s的通量f即为每一面元通量之和对于闭合曲面s，通量f为svdsfsvdsf向量场沿选定方向的曲面S的面积分A定义()SSAdSPdydzQdzdxRdxdy定侧称为向曲面指定一侧穿过曲面S的通量。A例题例1设由矢径构成的矢量场中，rxiyjzk圆锥面xyzzHH222(0)及平面曲面S。rSS试求矢量场从内穿出的通量。P553.求矢量场Axyziyxzjzxyk323（）（）（+）所围成的封闭的散度。有一由•如果曲面s是闭合的，并规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：ˆn000SAdS＝A（Ⅰ）000（Ⅱ）（Ⅲ）表示有净的矢量线流入，闭合面内有吸收矢量线的负源；表示有净的矢量线流出，闭合面内有产生矢量线的正源；表示流入和流出闭合曲面的矢量线相等或没有矢量线流入、流出闭合曲面闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系若S为闭合曲面，可根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:dSASf0(有正源)0(有负源)=0(无源)sAdsVV2、散度设封闭曲面s所包围的体积为，则就是矢量场在中单位体积的平均通量，或者平均发散量。当闭合曲面s及其所包围的体积向其内某点收缩时，若平均发散量的极限值存在，便记作()AMMVV0divlimsVAdsAV称为矢量场在该点的散度(div是divergence的缩写)。()AM散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当div，表示该点有散发通量0A的正源；当div，表示该点有吸收通量的负源；当div，表示该点为无源场。0A0AkzyxRjzyxQizyxPzyxA),,(),,(),,(),,(则(,,)Axyz设矢量场的散度为定理zRyQxPAdivA重点散度(Divergence)的表达式直接从散度的定义出发，不难得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场散度的积分。上式称为矢量场的Gauss定理。ssVAddivAdV积分的Gauss定理注：它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。§4矢量场的环量及旋度(Rotation)1.矢量场的环量定义：①线矢量l:矢量场A中的一条封闭的有向曲线②环量Г：（图2）性质：①Г是标量②Г≠0，l内有旋涡源③Г=0，l内无旋涡源cosllAdlAdl图2矢量场的环量(P56)zxyOldlAP定义线积分向量场沿空间有向闭曲线l的AllAdlPdxQdyRdz称为沿闭曲线l的环量。A环量的表达式nPlS图3闭合曲线方向与面元的方向示意图(P59)定义：若存在，则称此极限为矢量场A沿l之正向的环量在点P处沿n方向的环量面密度。SPlimS性质：l围成的面元法矢量旋涡面的方向矢量R①在任意面元方向上的投影就给出该方向的环量面密度②方向为环量面密度最大的方向；模为最大环量面密度的值⑵旋度的定义定义：固定矢量R为矢量A的旋度，记作：rotA=R重合，最大夹角，中间值垂直，0R旋度矢量PlnrotA旋涡面图4旋度及其投影旋度矢量R在n方向的投影:lnSPAdllimrotAS定义向量场的旋度定义为A(x,y,z)AArotRQPzyxkji旋度(RotationorCurl)kyPxQjxRzPizQyR)()()(简单地说,旋度是个矢量，它的物理意义是场在该矢量方向上旋转性的强弱。6利用环量与旋度(它可以从整体上描述场旋ldlA转的强度)，我们可以用向量的形式重写Stokes公式。SdSASdSArot8小结1、散度（流出的量）发散源通量即该矢量(的垂直平面分量)穿过平面的大小一般点的散度为0，散度不为0的点表示该点有提供源(source)散度是标量，物理意义为通量源密度，可以从Gauss公式理解散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源）矢量场2、旋度（没有流出的量）旋涡源旋度即该矢量(的平行平面分量)沿平面的大小密度(即大小/面积)旋度不为0表示有量在该平面“逗留”旋度是矢量；其物理意义为环量密度，可以从Stokes公式里理解旋度为零，说明是无旋场；旋度不为零时，则说明是有旋场一、无旋场0VAAAV定义：若在区域内，矢量场的旋度处处为零（即），则称为内的无旋场。0lAdlAV沿任意闭合回路的环量为零（即＝）则称为内的保守场。AAuAV若可表示为＝，则称为内的有势场。§5几种重要的矢量场12V（）若为线单连通（区域），有势场无旋场（）有势场保守场VllVS线单连通：对内任何一条简单闭合曲线，都可以作出一个以为边界，且全部位于区域内的曲面，即任一闭路都可以收缩为一点。无旋场有势场保守场0lAdl空心球体环面体二、无源场0VAAAV定义：若在区域内，矢量场的散度处处为零（即），则称为内的无源场或管形场。矢量管：矢量线构成的管形曲线（矢量线与曲面重合）1S2S3S,VAABA定理2若为面单连域若矢量场可表示为为管形场:VSVV面单连通内任一简单闭合曲面所包围的全部点都在内,即内没有洞矢量场的Helmholtz定理空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无源矢量场的叠加，即：isAAA:0,0,iiisssAAAAAA其中满足代表单独由发散源确定的场满足代表单独由漩涡源确定的场三、管形场与有势场式知道,此时沿任何封闭曲面的曲面积分都等于零.中作一矢量管(图2),即由矢量线围成的管状的若一个矢量场的散度恒A为零,即我们曾div