抽象函数单调性的判定及应用

例谈抽象函数单调性的判定及应用湖南省张家界市武陵源一中高飞颜建红电话[phone]邮编：427400抽象函数问题是指没有给出解析式，只给出一些特殊条件的函数问题，一般以中学阶段所学的基本函数为背景，构思新颖，条件隐蔽，技巧性强。解法灵活，因此它对发展同学们的抽象思维，培养同学们的创新思想有着重要的作用。下面就抽象函数单调性及应用问题举例分析，供大家参考。例1，定义在R上的函数f(x)满足，当x0时f(x)1，且对任意x,yR都有)()()(yfxfyxf，若21f（1）求2f⑵证明对任意x有0xf恒成立且f(x)在R上是增函数⑶解不等式42xf分析;恰当赋值可求函数值，用定义可证单调性，应用单调性可解不等式解;（1）42211112ffff⑵令0,1yx由)(yxf=)()(yfxf得10011ffff，当0x时,0xxfxf=xxf=10f其中0,1xfxf故对任意x有0xf恒成立。设,,21Rxx且,21xx则1,01212xxfxx由1212xxxfxf=121xxfxfxfxf,1在R上是增函数⑶42f，42xf即22fxf由⑵知2-02xx所以原不等式的解集为0,点评:单调性定义是判断抽象函数单调性的重要方法，抽象函数不等式问题关键是利用函数的单调性“脱去f”化为一般的不等式来解。本题背景函数为指数函数。例2，函数f(x)满足Rxx21,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-3,并且当x0时,f(x)3(Ⅰ)求证f(x)是R上的增函数⑵若f(3)=6,解不等式f(a2-3a-9)4.分析:用定义证明单调性，变形技巧:1122xxxx证明:设,,21Rxx且,21xx则3,01212xxfxx，因为112112xfxxxfxfxf=f(x1)+312xxff(x1)=12xxf-30，所以f(x1)f(x2)，即f(x)是R上的增函数⑵f(3)=6613321fff，41f.所以f(a2-3a-9)4.即f(a2-3a-9)1f，xf在R上是增函数a2-3a-91解得-2a5即不等式f(a2-3a-9)4的解集为5,2。点评:单调性定义证明利用题设使抽象的问题变为比较12xxf与3的大小的具体问题。本题中的隐含条件41f不可忽视，本题背景函数为一次函数。3，定义在（0，+）上的函数f(x)对任意x,yR都有)()()(yfxfxyf且当10x时f(x)0，（1）求1f⑵求证xffx1，判断f(x)在（0，+）上的单调性并说明理由⑶若02xf求实数x的取值范围分析:用好函数一系列的已知条件，注意变形技巧:2121xxxx的使用可正确解题解;（1）21212111ffff，01f⑵111fxfxffxx=0，xffx1。设,021xx0102121xxxxf，2212121xffxfxfxxxx2xf或21xfxf021211xxxffxff(x1)2xf,xf在（0，+）上是增函数⑶102fxf由⑵知120x得32x，所以原不等式的解集为3,2点评:本题运用单调性“脱去f”时不能忽略f(x)的定义域，否则会出错，注意等价命题的证明，要证xffx1，不妨先证01xffx，本题背景函数为对数函数。4，已知函数f(x)定义域为R满足f(x)0对任意x,yR都有yxfxyf)]([)(，131f，（1）求0f，⑵求证11f且xfxf1判断f(x)的单调性，⑶当1,0x时1mxf恒成立求实数m的取值范围解析；0f=100f，11331ff，f(x)=xf]1[所以f(x)是R上的增函数⑶由⑵知001mxfmxf对1,0x恒成立所以0)(maxmx得1m。5,（天津卷)已知函数f(x)=0,40,422xxxxxx，若afaf22，求实数a的取值范围解析；本题解答的关键是正确作出函数的图象，概括出函数在R上是单调递增函数，所以由afaf221222aaa。6，(江苏卷)已知函数f(x)=0,10,12xxx求满足不等式xfxf212的x取值范围解析；由函数f(x)函数特征将不等式化为xxx210122，解得121x7，辽宁卷已知偶函数f(x)在区间,0上单调递增求满足3112fxf的x取值范围解析；由偶函数性质得1212xfxf，又f(x)在区间,0上单调递增3112x解得3231x点评：运用偶函数性质xfxfxf可把变量转化为同一单调区间再利用单调性求解。