立体几何初步：第5讲空间中的垂直关系

空间中的垂直关系学习目标：1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间中垂直关系的简单命题．在高考中，对空间垂直关系的考查主要表现在三个方面：一是将关于空间位置关系的定义、判定和性质结合起来，以选择、填空的形式，对有关命题的真假进行判断；二是灵活运用判定定理、性质定理求线面角、二面角，考查空间想象能力及计算能力；三是以几何体为载体，在解答题中以证明的形式，考查线线、线面、面面垂直关系及逻辑推理能力．知识点梳理1．线线垂直如果两条直线所成的角是______(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说______________________，记作____________．直线l叫做______________，平面α叫做______________．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做_________．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的________都垂直，则该直线与此平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．用符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__________．3．直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．任一直线与平面所成角θ的范围是____________．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的_____________叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是__________．5．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直．【自查自纠】1．直角2．(1)直线l与平面α互相垂直l⊥α平面α的垂线直线l的垂面垂足(2)两条相交直线(3)平行3．锐角[0°，90°]4．(1)两个半平面所组成的图形(2)垂直于棱[0°，180°]5．(1)直二面角(2)垂线(3)交线基础自测1设m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，当m⊂α，n⊂β时，下列命题正确的是()A．若m∥n，则α∥βB．若m⊥n，则α⊥βC．若m⊥β，则m⊥nD．若n⊥α，则m⊥β2设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：据面面垂直的判定定理可知，若l⊂α，l⊥β⇒α⊥β，反之则不一定成立．故选A.3在三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°解：如图，取BC的中点E，连接AE，DE，可知AE⊥侧面BB1C1C，∠ADE就是AD与侧面BB1C1C所成的角．设各棱长为a，则在Rt△AED中，ED＝12a，AE＝32a，tan∠ADE＝3，所以∠ADE＝60°.故选C.4如图，二面角α­l­β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°.则AB与平面β所成的角的正弦值是________．解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，连接BC，在β内作CD⊥l，交l于点D，连接AD.∵l⊥CD，l⊥AC，AC∩CD＝C，∴l⊥面ACD.∴l⊥AD.故∠ADC为二面角α­l­β的平面角，即∠ADC＝60°，∴sin∠ABC＝ACAB＝3a4a＝34.故填34.5在正方体ABCD­A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为____________．(写出所有正确结论的编号)解：根据两平面平行的性质定理可得BFD′E为平行四边形，①正确；若四边形BFD′E是正方形，则BE⊥ED′，又A′D′⊥EB，A′D′∩ED′＝D′，∴BE⊥面ADD′A′，与已知矛盾，②错；易知四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形ABCD，③正确；当E，F分别为棱AA′，CC′的中点时，EF∥AC，又AC⊥平面BB′D，∴EF⊥面BB′D，④正确．故填①③④.类型一线线垂直问题例一如图，在四棱台ABCD­A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD.证明：(1)∵D1D⊥面ABCD，且BD⊂面ABCD，∴D1D⊥BD.又∵AB＝2AD，∠BAD＝60°，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos60°＝3AD2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴EC＝12AC.由棱台定义及AB＝2AD＝2A1B1知A1C1∥EC且A1C1＝EC，∴四边形A1ECC1为平行四边形．∴CC1∥A1E.又∵A1E⊂面A1BD，CC1⊄面A1BD，∴CC1∥面A1BD.【评析】本题主要考查线线、线面位置关系．第(1)问证明线线垂直，其实质是通过证明线面垂直，再化归为线线垂直；第(2)问证明线面平行，需转化为证明线线平行，由于面A1BD中没有与CC1平行的直线，故需作辅助线．变式如图，在三棱锥S­ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.证明：(1)∵AS＝AB，AF⊥SB，∴F是SB的中点．又∵E分别是SA的中点，∴EF∥AB.又∵EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC.同理可证FG∥平面ABC.又∵EF∩FG＝F,EF，FG⊄平面ABC，∴平面EFG∥平面ABC.(2)∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AF⊂平面SAB，AF⊥SB，∴AF⊥平面SBC.又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC.又∵AB⊥BC,AB∩AF＝A,AB，AF⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB.又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA.类型二线面垂直问题例二如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.(1)求证：CE⊥平面PAD；(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝2，∠CDA＝45°，求四棱锥P­ABCD的体积．解：(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，CE⊂平面ABCD，所以PA⊥CE.DE＝CD·cos45°＝1，[来源:学&科&网]又因为AB＝1，则AB＝CE.又CE∥AB，AB⊥AD，所以四边形ABCE为矩形，四边形ABCD为梯形．因为AD＝3，所以BC＝AE＝AD－DE＝2，SABCD＝12(BC＋AD)·AB＝12(2＋3)×1＝52，VP­ABCD＝13SABCD·PA＝13×52×1＝56.于是四棱锥P­ABCD的体积为56.【评析】证明线面垂直的基本思路是证明该直线和平面内的两条相交直线垂直，亦可利用面面垂直的性质定理来证明；第(2)问的难点在于求底面四边形ABCD的面积，注意充分利用题设条件，先证明底面ABCD是直角梯形，从而求出底面面积，最后求体积．变式如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝2.证明：A1C⊥平面BB1D1D.且AC＝2，∴AC2＝AA21＋A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1.∵BD∩BB1＝B，∴A1C⊥平面BB1D1D.类型三面面垂直问题例三如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M.解：(1)因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M和C1D1所成的角，因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°.而A1B1＝1，B1M＝B1C21＋MC21＝2，故tan∠MA1B1＝B1MA1B1＝2.(2)证明：由A1B1⊥平面BCC1B1，BM⊂平面BCC1B1，得A1B1⊥BM.①由(1)知，B1M＝2，又BM＝BC2＋CM2＝2，B1B＝2，B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.②又A1B1∩B1M＝B1，由①②得BM⊥平面A1B1M.而BM⊂平面ABM，∴平面ABM⊥平面A1B1M.[来源:学§科§网]【评析】求异面直线所成的角，一般方法是通过平移直线，把异面问题转化为共面问题，通过解三角形求出所构造的角；证明面面垂直，可转化为证明线面垂直，而线面垂直又可以转化为证明线线垂直，在证明过程中，需充分利用规则几何体本身所具有的几何特征简化问题，有时还需应用勾股定理的逆定理，通过计算来证明垂直关系，这在高考题中是常用方法之一．本题还可以利用规则几何体建立空间直角坐标系，利用向量的方法来求解．变式如图，在三棱锥V­ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC＝BC＝a，∠VDC＝θ0θπ2.(1)求证：平面VAB⊥平面VCD；(2)当角θ在0，π2上变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围．(2)在平面VCD内过点C作CH⊥VD于H，则由(1)知CH⊥平面VAB.连接BH，于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角．在Rt△CHD中，易知CH＝22asinθ.设∠CBH＝φ，在Rt△BHC中，CH＝asinφ，∴22sinθ＝sinφ.∵0θπ2，∴0sinθ1，0sinφ22.又0φπ2，∴0φπ4.即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为0，π4.类型四垂直综合问题例四如图，在圆锥PO中，已知PO＝2，⊙O的直径AB＝2，C是AB︵的中点，D为AC的中点．(1)证明：平面POD⊥平面PAC；(2)求二面角B­PA­C的余弦值．解：(1)证明：∵OA＝OC，D为AC中点，∴AC⊥OD.又∵PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，∴AC⊥PO.∵OD∩PO＝O，∴AC⊥平面POD.而AC⊂平面PAC，∴平面POD⊥平面PAC.(2)在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，由(1)知，平面POD⊥平面PAC，∴OH⊥平面PAC.又PA⊂平面PAC，∴PA⊥OH.在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G，连接HG，则有PA⊥平面OGH，在Rt△OHG中，sin∠OGH＝OHOG＝10563＝155，所以cos∠OGH＝105.故二面角B­PA­C的余弦值为105.【评析】本题以圆锥为载体，主要考查面面垂直及二面角的计算等．第(1)问是利用隐含的线线、线面垂直得出面面垂直，充分利用圆及圆锥的性质是证明的关键；第(2)问的难点在于如何作出二面角B­PA­C的平面角，这主要是利用第(1)问面面垂直的性质作图来实现的，在作出二面角的平面角后，构造(或找出)含此角的三角形，计算即可．注意尽量将计算问题放在直角三角形内．变式如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD