§3FIR滤波器频率采样法设计

第六章第2讲1§3FIR滤波器频率采样法设计设计思想按频域采样定理FIR数字滤波器的传输函数H(z)和单位脉冲响应h(n)可由它的N个频域采样值H(k)唯一确定。10121)(1)(NkNkjNzekHNzzH)]([)(,kHIDFTnh)(jdeH若要设计的FIR数字滤波器的频率响应为，2~0从频域出发,对理想频响在间进行N点的等间隔采样得：1,...1,0)(|)()(22NkeHeHkHNkjdNkjdd1,...1,0)()(2NkeHkHNkjd令第六章第2讲2FIR滤波器频率采样法设计按频域采样定理由Hd(k)求H(z)或h(n)，其流图如下：)()()()(zHkHeHnhdjd设计过程和公式)(jeH为使设计的滤波器为线性相位滤波器，滤波器的频率响应及其频率采样值H(k)必须满足一定的条件。(~)0一般而言，给定的理想滤波器的幅度响应只给出了范围频率采样的幅度值，∴上式中的k只能取0到N/2这(N/2+1)点，另外(N/2-1)点(从N/2+1到N-1)则需根据线性相位的奇偶对称条件求得。下面以偶对称条件h(n)=h(N-n-1)为例说明设计公式。第六章第2讲3FIR滤波器频率采样法设计kNjeHkH2)()(Hej()(~)02对在等间隔N点采样得H(k),k=0,1,…,N-1)1(21)(N对线性相位滤波器，其相位响应为：)()()(jgjeHeH幅度响应设的频响为：)(nh)()()(kjgekHkH令kNggHkH2)()(则：kNk2)()(,第六章第2讲4FIR滤波器频率采样法设计)(kHg∴对频率采样的幅度值有：)()(kNHkHggN为奇数)()(kNHkHgg0)2()2(NHNHgg及N为偶数按线性相位的偶对称条件:)(gH)2()(ggHH若N为偶数，对π为奇对称:)(gH)2()(ggHH对π为偶对称:若N为奇数，kNNNkNNNkN1)1()(1)(kNNkNNk12)1(21)(，k=0,1,…,(N-1)/2按式对相位进行频率采样得：2/)1()(N第六章第2讲5FIR滤波器频率采样法设计NkNjjNkNjNjee)1()1()1(对N为偶数，(N-1)为奇数∴取kNNkN1)(，k=0,1,…,N/2-1NkNjNkNjNjee)1()1()1(对N为奇数，(N-1)为偶数kNNkN1)(∴取，k=0,1,…,(N-1)/2综合以上分析，可得到设计公式如下：第六章第2讲6FIR滤波器频率采样法设计综合以上分析，可得到设计公式如下：)()(kNHkHggkNNk1)(kNNkN1)(,对N为奇数，设计公式为：k=0,1,…,(N-1)/20)2(,NHg)()(kNHkHggkNNk1)(kNNkN1)(,，k=0,1,…,N/2-1对N为偶数，设计公式为：第六章第2讲7滤波器的频率响应FIR滤波器频率采样法设计jez将代入频率采样公式得：)2()()()(10kNkHzHeHNkezjj21)2/sin()2/sin(1)(NjeNN其中Nk21,,2,1,0,Nk1)2(Nk在采样点与NkjkkeH/2)(无误差)()(2NkjdeHkH但在采样点之间，两者误差与特性的平滑程度有关：)(jdeH在幅度曲线的平滑段，误差较小，但在曲线的间断点附近，会产生较大的误差，使得滤波器的阻带性能变坏。误差还与采样点数N有关，N越大误差越小。)(jdeH第六章第2讲8FIR滤波器频率采样法设计为提高阻带衰减，常用增加过渡带法如右图第六章第2讲9FIR滤波器频率采样法设计|)()(|jdjeHeH优化原则：在通带内要求min|)()(|maxjdjeHeH在阻带内要求例用频率采样法设计一个低通滤波器，通带截止频率radp2.0的偶对称情况。，采样点数N=20，采用h(n)=h(N-n-1))2,0[解：∵N=20，在范围内等间隔采样，显然，在通带共有3个采样点，分别是k=0,1,2radN1.0/2采样间隔为：173019181201)(kkkkHg1918)20(95.02095.02025.9)(kkkkkk又∵N为偶数，可得：第六章第2讲10FIR滤波器频率采样法设计)()()(kjgekHkH)(kHg)(k将和代入)(kH)(zH)(nh求得，进而求得或再利用式（6-3-11）和式（6-3-12）就可求出频率响应其相位响应由式（6-3-6）给出，为线性相位。过渡带为：2/20/10其幅度响应如下图，图中还给出了其单位脉冲响应第六章第2讲11346035,53904.03936,401)(kkkkkkHg3935)40(975.050975.04025.19)(kkkkkk)(nh)(kHg)(k由上图d）可见，所设计的滤波器的阻带衰减很小，只有-16dB。为了改进阻带衰减，在边界频率处增加一个过渡点，为了保证过渡带宽不变，将采样点数增加一倍，变为N=40，并将过渡点的采样值进行优化，取H1=0.3904，得到和分别为过渡带为（2/40×2）/10，求得的单位脉冲响应和幅度响应如下图所示。FIR滤波器频率采样法设计第六章第2讲12FIR滤波器频率采样法设计第六章第2讲13FIR滤波器频率采样法设计)(kHg)(k由上图d）可见，这时阻带衰减达到了-43dB。为了进一步增加阻带衰减，可再增加一个过渡采样点，并将采样点数增加到60，两个过渡样点值经优化分别为=0.5925和=0.1099,相应的和分别为518052,81099.053,75925.06954,601)(kkkkkkkkHg5952)60(983.080983.06025.29)(kkkkkk)(nh过渡带为（2/60×3）/10所得单位脉冲响应和幅度响应如下图所示。第六章第2讲14FIR滤波器频率采样法设计第六章第2讲15频率采样法可以直接从频域出发进行设计，比较简单。这种方法最适合于设计窄带滤波器。由上图可见，这时阻带衰减达到了-63dB，还可以通过进一步增加过渡样点来增加阻带衰减。显然，在保证过渡带宽不变的情况下，相应的采样点数也就随着成倍的增加，这样将使滤波器的复杂度大大增加，在实现滤波时计算量也就随着增加。FIR滤波器频率采样法设计第六章第2讲16§4FIR数字滤波器的等波纹优化设计EWHHdg()()[()()]Hd()Hg()E()设希望设计的滤波器幅度响应为，实际逼近的幅度响应为，加权误差为，则：E()将指定的频带记为A(包括通带和阻带)，切比雪夫等波纹最佳逼近的设计的准则是，选择FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)使得在A内误差函数的最大绝对值最小。)(])(max[min)()(EAnh将该最小值记为，则有：预先指定的误差加权函数下面介绍切比雪夫等波纹最佳逼近方法的基本思想和方法。第六章第2讲17线性相位FIR滤波器幅度特性的表示FIR数字滤波器的等波纹优化设计Hg()HQPg()()()FIR线性相位滤波器的幅度响应有四种情况，将四种情况的统一表示为：Q()其中是已知的三角函数，P()cos()n是关于的线性组合，)(QP()下表列出了对于四种不同情况的及的表达式。第六章第2讲18FIR数字滤波器的等波纹优化设计)1(,,3,2)1(ˆ)()](ˆ)1(ˆ[)()1(ˆ)0(ˆ)1(222122121NNNnbbnbnbnbbbb252321212521232121,,3,2)(ˆ)()(ˆ)()]1(ˆ)(ˆ[)()2(ˆ)0(ˆ)1(NNNNNnccccncncncccc)1(,,3,2)1(ˆ)()](ˆ)1(ˆ[)()1(ˆ)0(ˆ)1(222122121NNNnddndndnddddP())(ˆ),(ˆ),(ˆndncnbbncn(),()dn()表中的系数与原系数和的关系为：（6-4-4）（6-4-5）（6-4-6）第六章第2讲19FIR数字滤波器的等波纹优化设计EWQHQPd()()()[()()()])()()(ˆQWW)()()(ˆQHDd)]()(ˆ)[(ˆ)(PDWEP())(E将（6-4-3）式代入（6-4-1）式，得：因而最优化的问题变成了选择的系数使误差函数的最大绝对值最小。第六章第2讲20利用切比雪夫等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器的原理FIR数字滤波器的等波纹优化设计)cos()()(10nnBPrnP()cos()n交错定理：设为的线性组合，即：P()()DE()i121rEEirii()(),,,112EEiA()max[()]在A上能唯一的最佳逼近连续函数的充分必要条件是加权误差函数在A内至少有r+1个极值频率点，即在A内必须存在r+1个频率点，其中且及则以情况1为例，讨论线性相位滤波器幅度响应极值数目的约束问题第六章第2讲21FIR数字滤波器的等波纹优化设计表示成多项式：将余弦函数cos()ncos()cos()(cos)namnmnm0kkrkmmnnmrngaanaH)(cos)(cos)()(10010Hg()将其代入对情况1的，得：式中r=(N+1)/2，是与和有关的常数ka)(namnaddHkagkrkk[()]sin(cos)111Hg()求极值频率，将对ω微分一次得：第六章第2讲22FIR数字滤波器的等波纹优化设计根据等波纹最佳一致逼近定理，误差函数至少应有r+1个极值，因此本身至少还应再增加一个独立极值。对理想低通特性的，的边界频率和也是的极值点(不是的极值点)，这样就有r+2个极值频率(这种情况称为超波纹逼近)。上式右边余弦函数多项式的最高阶次为r-2=(N-3)/2，应有r-2个根，sinω在ω=0和ω=π处有两个根(零点)，∴在区间[0,π]上，应有r个极值点。对逐段恒定的幅度特性，的极值点也是的极值点)(gH)(gH)(E)(E)(jHd)(gHpc)(E)(gH)(E第六章第2讲23FIR数字滤波器的等波纹优化设计例如，N=13，(N+1)/2=7时幅度特性最多有7个极值点，而误差函数E(ω)有9个极值点，如下图所示。第六章第2讲24求解方法及Remez算法FIR数字滤波器的等波纹优化设计01,,,rriPDWiiii,,1,0)1()]()(ˆ)[(ˆ设已知在A上r+1个极值频率为：将这些频率代入式)(maxEA)cos()()(10nnBPrn式中按最佳逼近定理得：)]()(ˆ)[(ˆ)(PDWE令an=B(n)，将上式写成矩阵形式：第六章第2讲25FIR数字滤波器的等波纹优化设计)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)1()1cos(2coscos1)(ˆ)1()