函数的奇偶性

当有些事情你无法得到时，你唯一能做的，就是不要忘记。---题记我们每天都在记住，同时又在遗忘。王家卫在东邪西毒里说：人最大的烦恼就是记性太好，如果可以把所有事都忘掉，以后的每一日都是个新开始，你说多好。可为什么我总觉得，人最大的悲哀就是记性不好，该铭记的总是遗忘。今天大扫除，妈妈清理出了一堆不要的旧物，打算扔掉。这些都是我小时候的宝贝，那时家里条件不怎么好，没有闲钱给我买玩具，但我又特别渴望，所以总爱帮别人搬家。因为人在即将奔赴下一站时，总会特别宽容，或者说特别残忍，昔日所爱今日都变为累赘，弃之于墙角，待之落满灰尘。还好有我这个拾荒者，我会将其小心翼翼捧回家，交给妈妈清洗。天朗气清的午后，将其晾起，看着它在晾衣绳上，在微风中飘荡，就会特别开心，反仿佛心也泛起了丝丝涟漪。但母亲总会站在一旁，静静地看着我，沉默不语，小时的我以为母亲因为自己乱捡东西而不高兴了，今时今日我才读懂，那是一个母亲对于不能满足自己孩子愿望的愧疚与自责。现在自己也有许多玩具或物件，但竟没有一件能让我体会到小时候那个期盼，紧张而又欢呼雀跃的过程，我想今天的礼物，大多处于必要的礼貌，并无多少感情函数的奇偶性制作：曹永为对称现象蝴蝶雪花晶体观察下图，思考并讨论以下问题：（1）这两个函数图象有什么共同特征？(2)怎样用数量关系来描述这个函数的特性呢？图象皆关于y轴对称o（-1,1）（2,4）（1,1）-xxyx（-2,4）f(-x)(-x,y)f(x)(x,y)－3－2－10123x2)(xxf偶函数的概念一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数．)(xf)()(xfxfx)(xf函数，都是偶函数，它们的图象分别如下图所示：1)(2xxf112)(2xxf偶函数中两个对称关系：1、函数图象皆关于y轴对称2、定义域关于原点对称观察观察函数和的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？xxf)(xxf1)(x－3－2－10123f(x)=xx－3－2－10123f(x)=1/x/x-xxf(-x)f(x)=—1、图象皆关于原点对称２、数量关系：对定义域内任意实数a有f(-a)=-f(a)我可以得到：这类函数的哪些特性？定义３、定义域关于原点对称奇函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有，那么函数f(x)就叫做奇函数．)()(xfxf☆对奇函数、偶函数定义的说明:（1）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件ox[-b,-a][a,b]（2）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)对ＸＤ成立若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)对ＸＤ成立（３）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。例题例1.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+2x(2)f(x)=2x4+3x2=-(x3+2x)☆说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:⑴先求定义域，看是否关于原点对称;⑵再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立。解:函数定义域为Ｒ∵f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3–２x=-(x3+2x)即：f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数解:函数定义域为Ｒ∵f(-x)=２(-x)４+３(-x)２=２x４+３x２即：f(-x)=f(x)f(x)为偶函数练习1.判断下列函数的奇偶性(2)f(x)=-x2+1(1)f(x)=x-1x(3).f(x)=5(4)f(x)=0说明:1°常数函数f(x)=a(a0),(定义域关于原点对称）,均为偶函数。2°函数f(x)=0(定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。(7).f(x)=x+1(8).f(x)=x2x∈[-1,3](5)f(x)=(6).f(x)=3xx2.奇偶函数图象的性质:⑴奇函数的图象关于原点对称.⑵偶函数的图象关于y轴对称.反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.注：奇偶函数的图象的性质可用于：（１）简化函数图象的画法（２）判断函数的奇偶性反之,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数.oyx例4已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在y轴左边的图象。解：画法略本课小结:偶函数奇函数函数图象关于y轴对称函数图象关于原点对称对任意x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x)对任意x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x)思考题:1.已知y=f(x)是偶函数，且在(-∞，0）上是增函数，则y=f(x)在(0,∞)上是（）A.增函数B.减函数C.非单调函数D.单调性不确定2.已知f(x)是定义在[5,-5]上的奇函数,若f(2)=5,f(-3)=7,那么f(-2)=,f(3)=.3.已知f(x)是定义在(6,-6)上的偶函数,若f(2)=12,f(-3)=5,那么f(-2)=,f(3)=.4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,试比较下列各组的大小(1)f(1)和f(5)(2)f(-2)和f(-6)(3)f(-5)和f(3)