自控原理第四章书后习题答案

4-1绘制具有下列开环传递函数的负反馈系统的根轨迹1、54*sssKsHsG解：（1）3个开环极点为：p1=0，p2=-4，p3=-5。（2）实轴上的根轨迹（-4，0），（-∞，-5）（3）303054011mnzpnimjji,,331212kmnka(4)分离点：1110d45ddd=-1.47,d=-4.53(舍)（5）与虚轴的交点：在交点处，s=jω，同时也是闭环系统的特征根，必然符合闭环特征方程，于是有：02092092323KjjKsssjs整理得：0203；092K解得01；203,2；18092K最后，根据以上数据精确地画出根轨迹。2、11.02*sssKsHsG解：（1）开环极点有3个，分别为：p1=p2=-0，p3=-1，开环零点为z=-0.1（2）实轴上的根轨迹为：[-1-0.1](3)渐进线有两条，45.0131.010011mnzpnimjji,23,2131212kmnka(4)分离点：1111d10.1dddd=0,d=--0.4(舍),d=0.25(舍)分离角：,23,221212klkd最后，精确地画出根轨迹。4-3已知系统的开环传递函数为2*1ssKsHsG①绘制系统的根轨迹图；②确定实轴上的分离点及K*的值；③确定使系统稳定的K*值范围。解：①，首先，由开环环函数可知，n=3，m=0；p1=0，p2=p3=-1。其次，一连几天实轴上的根轨迹与根轨迹草图。根据根轨迹草图，需计算闭环根轨迹的渐近线与汇合点，以及与虚轴的交点。渐近线为：320311011mnzpnimjji,3031212kmnka②汇合点为：1sN，sssssssD232110'sN；113143'2sssssD01131432''sssssNsDsNsD3/11s；12s(不合题意舍去)Im[s]Res[s]0-0.3-0.2-0.1-0.6-0.5-0.4-0.7-1-0.9-0.8与虚轴的交点首先，写出闭环系统的牲方程，02*23Ksss，然后，令s=jω，并代入特征方程得：0202*3Kjj解得：01，12，1；21222*K所绘根轨迹如下图所示。4-5设负反馈系统的开环传递函数为()()(0.011)(0.021)KGsHssss，①作出系统准确的根轨迹；②确定使系统临界稳定的开环增益cK；③确定与系统临界阻尼比相应的开环增益K。解：（1）作出系统准确的根轨迹：10050()()(100)(50)KGsHssss；*10050KK1).开环极点：1230;100;50PPP2).实轴上根轨迹[0，-50]，[-100，-]3）渐进线：a=(-150)/3=－50a=(2k+1)*1800/3=600，18004）分离点：111010050ddd21233005000021.1378.82dddd（舍去）5）与虚轴交点：D(s)=0.0002s3+0.03s2+s+K=0图4-5s30.00021s20.03Ks11-K/1500s0K根据劳斯判据：1150K0，K0∴0K150作根轨迹如图4-5所示。(2）临界稳定的Kc=150与虚轴交点由辅助方程20.031500s求得170.71sj(3)将分离点121.13s代入幅值条件：1*1()1()mjjniisZKsP*1111|||||50||100|10050iiKsPsssK求出临界阻尼比相应的开环增益：21.1328.8778.879.6250100K4-6单位负反馈系统的开环传递函数为*2()()(10)(20)KszGssss，试绘制系统的根轨迹图，并确定产生纯虚根1j时的z值和*K值。解：系统特征方程2*(10)(20)()0sssKsz以1sj代入*19930()jKjz6.63z*19930()jKjz*30K下面作根轨迹：（1）开环极点和零点123410,0,10,20,6.63PPPPZ实轴上的根轨迹：（-10，-6.63），（-∞，-20）（2）渐进线有3条：a=(-30+6.63)/(4-1)=－7.79a=(2k+1)*1800/3=600，1800作根轨迹如图4-6所示。4—7设控制系统的开环传递函数如下，试画出参数b从零变副无穷时的根轨迹图。图4-6①bsssHsG420②1030ssbssHsG。解：①，首先，写出闭环系统的特征方程，即：020442042bbsssbss然后，写出以参数K*形式的等效开环传递函数，方法是适当地提取公因式。如：0204412042044222sssbssbbsss等效开环传递函数为：4242420442jsjssbsssbsHsG其中，n=2，m=1；p1=-2+j4，p2=2-j4；z=-4，n-m=1。其次，画实轴上的根轨迹与根轨迹草图。根据根轨迹草图，需计算闭环根轨迹的渐近线与汇合点，以及与虚轴的交点。渐近线为：01244242011jjmnzpnimjji121212kmnka汇合点为：4ssN，2042sssD1'sN；42'ssD02042042044422''sssssssNsDsNsD0.4721s(不合题意舍去)；8.4722s出射角：153.4359063.4351808j4j2180j42j424j42180180211111niiimjjpppzp153.4359063.4351808j4j2180j42j424j42180180212122niiimjjpppzp４-11已知非最小相位负反馈系统的开环传递函数为(105)()()(1)KsGsHsss，试绘制该系统的根轨迹图。解：将开环传递函数化为零极点形式(2)()()2(1)KsGsHsss由于有负号提出，因此按正反馈系统画根轨迹：1）开环极点：p1=0，p2=-1，开环零点：Z1=22)实轴上根轨迹［２，∞］；［-１，０］3)根轨迹与实轴交点11121ddd整理得2420dd120.45,4.45dd4）根轨迹与虚轴交点：用sj代入特征方程*(1)(10.5)0jjKj得到*2*010.50KK求得*22K可知Ｓ平面上根轨迹为：圆心+２，半径2.45的圆,根轨迹如图4-11所示。4-13负反馈控制系统的开环传递函数为(5)()()(1)(3)KsGsHsss，证明系统的根轨迹含有圆弧的分支。解：１)开环极点p1=-1，p2=-3，开环零点：Z1=-5２)实轴上根轨迹：［-３，-１］；［-５，-］３)与实轴交点111135ddd整理得210170dd122.172,7.828dd证明：特征方程为：*(s)=(s+1)(s+3)+k(5)0Ds图4-11图4-13sj代入上式，有：*3)(5)0k(+j+1)(+j+j22***435(24)0kkkj整理得：（）由Im)0D（+j得：*24k。将其带入Re())0D（+j中，得到：2210170，即222522（）（）上式为圆方程：圆心为（-５，０），半径22RR＝2证明根轨迹含有圆弧分支,根轨迹如图4-13所示。4-15设负反馈系统的开环传递函数为()()(3)(2)KGsHsss，试绘制系统根轨迹的大致图形。若系统：①增加一个z＝-５的零点；②增加一个z＝-２.５的零点；③增加一个z＝-０.５的零点。试绘制增加零点后系统的根轨迹，并分析增加开环零点后根轨迹的变化规律和对系统性能的影响。解：１.原系统根轨迹：从开环极点p1=-2，p2=-3出发在2.5s处汇合后分离沿与虚轴平行趋向，根轨迹如图4-15(a)所示。２.增加开环零点z＝-５：根轨迹与平面上是一个圆222(5)(6)圆心(5,0)，半径Ｒ＝2.45，根轨迹如图4-15(b)所示。３.增加一个开环零点z＝-２.５：其根轨迹如图4-15(c)所示。４.增加一个开环零点z＝-０.５：其根轨迹如图4-15(d)所示。(a)(b)(c)(d)图4-15原系统随Ｋ↑，系统是衰减振荡且整定时间st随Ｋ增大而增大，增加零点后，系统随Ｋ↑，由衰减振荡变为不振荡，可近似为一个负实数主导极点的惯性环节，且主导极点逐渐靠近开环零点。无超调量，且调整时间↓，快速性↑。4-17设系统如题图4-25所示。为使闭环系统的阻尼比ζ=0.5，无阻尼自然振荡频率ωn=2rad/s，试用根轨迹法确定参数a的值，并求出此时系统所有的闭环极点。解：