椭圆中的最值问题

回想下:椭圆点椭圆点221222xy若P是上+=1的,F,F是的焦,ab4321-1-2-3-4-6-4-2246。则。则minmaxmin2max2,,POPOPFPFoxyF2函数思想与椭圆有关的最值问题——常见解决方法B点椭圆一点间22x求定A(a,0)到+y=1上2之的最短距离.【方法小结1】求一点与椭圆上一点的距离最值问题：常用两点距离公式表示，消去x或y，转化成二次函数求最值问题。注意自变量取值范围。椭圆上一点到直线的最值问题：值。的距离的最大值，最小上的点到直线求椭圆061322yxyx4321-1-2-3-4-6-4-2246【方法小结2】常转化为与已知直线平行的直线m与椭圆相切问题，利用判别式求出直线m，再利用平行线间距离公式求出最值。xyoMminF1F2F2’简析:长轴长为MF1+MF2即在已知直线上找一点使其到两定点距离和最小，应用对称知识便可求得。例3：如图,M是直线:x-y+9=0上的动点,过M且以椭圆的焦点为焦点作椭圆,问M在何处时,所作椭圆的长轴最短?并求出此时的椭圆方程。lM131222yxM(5,-4)例：已知：B(2,2)是椭圆内一点，F1,F2是两焦点，M是椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值192522yxMBMF2xyoBMF1分析：aMFMF221)(21MFMBaBFa12同理BFaMBMF122∴最大值=10+22∴最小值=10-22MmaxMmin12aMFMB2MF+MBPMF1MminxyoMmax方法总结3：1、椭圆上点到焦点与一定点距离之和（差）的最值问题往往可用定义转化到另一焦点距离之差（和）进而求解。2、本题利用了三角形三边关系，求最值的方法。AB-ACBC41如图，已知点P在圆A:x2+(y-2)2=上运动，点Q在椭圆上运动，试求的最大值。1422yxPQxyoAPQ点p在圆A上运动时总有AQPAPQ21AQ∴只需求AQ的最大值规律方法：1、P，Q均为动点，可先借助图形，利用圆的性质：平面上点到圆上最大最小值过圆心。把其中一点看作定点，使其一定一动，把问题转移到熟悉的情境中来。2、利用三角形中两边之和大于第三边，逐个击破难点。xoAPQxy课堂小结：解析几何中的最值与取值范围问题涉及的知识面较广，但主要运用数形结合、函数两大数学思想，具体方法有以下几种：1、利用数形结合、几何意义，尤其是以圆与椭圆的性质求最值与取值范围。2、利用函数，尤其是二次函数求最值与取值范围。3、利用不等式，尤其是均值不等式求最值与取值范围。4、利用判别式求最值与取值范围。