2.4.1平面向量的数量积

5.6平面向量的数量积及运算律5.6平面向量的数量积及运算律5.6平面向量的数量积及运算律5.6平面向量的数量积及运算律5.6平面向量的数量积及运算律2.4平面向量的数量积及运算律复习思考:向量的加法向量的减法实数与向量的乘法两个向量的数量积运算结果向量向量向量？？平面向量的数量积及运算律物理意义下的“功”θsF一个物体在力F的作用下产生的位移s,那么力F所做的功应当怎样计算？其中力F和位移s是向量，是F与s的夹角，而功是数量.||||cosWFS平面向量的数量积及运算律两个非零向量的夹角两个非零向量a和b，作，，则叫做向量a和b的夹角．aOAbOBAOB)1800(OABabOABba若，a与b同向0OABba若，a与b反向180OABab若，a与b垂直，90ba记作①②③平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即cos||||bacos||||baba规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．0a平面向量的数量积及运算律（1）两向量的数量积结果是一个数量，符号由夹角决定.（3）a·b不能写成a×b，a×b表示向量的另一种运算．与以往运算法则的区别及注意点（2）前面所提到的力所做的功,就是力F与其作用下物体产生的位移S的数量积F·S.而向量的加法和减法的结果还是一个向量.平面向量的数量积及运算律例题讲解例1．已知|a|=5,|b|=4，a与b的夹角，求a·b.120解：a·b=|a||b|cosθ120cos45154()210平面向量的数量积及运算律练习1.已知|p|=8,|q|=6,向量p和q的夹角是60°,求p·q.练习2.设|a|=12,|b|=9,a·b=−54,求向量a和b的夹角.2|b|cosθ的几何图形及其表示的几何意义,|b|cosθ叫向量b在a方向上的投影．θ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=011=,,,OAaOBbBBBOAB作过点作垂直于直线,垂足为1||cosOBb则平面向量数量积a·b的几何意义向量a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的积.数量积的性质平面向量的数量积及运算律设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则（1）e·a=a·e=|a|cos（2）a⊥ba·b=0(判断两向量垂直的依据)（3）当a与b同向时，a·b=|a|·|b|，当a与b反向时,a·b=−|a|·|b|.特别地(用于计算向量的模)aaaaaa||||2或（5）|a·b|≤|a|·|b|（4）||||cosbaba(用于计算向量的夹角)5.数量积的运算律：123()()()()()()()abbaababababcacbc平面向量的数量积及运算律数量积运算律()()abcabc？练习.判断正误1．若a=0，则对任一向量b，有a·b=0．2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，则b=0.4．若a·b=0，则a、b中至少有一个为0．5．若b≠0，a·b=b·c，则a=c.6．若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立．7．对任意向量a,有22||aa√×××××√平面向量的数量积及运算律例3求证：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．例4已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b)．例5已知|a|=3，|b|=4(且a与b不共线)，当且仅当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？例6设x，y轴正方向上的单位向量分别为i和j，若a＋b=2i－8j，a－b=－8i＋16j，求a·b．例7设和是夹角为的两个单位向量，且，，试求的值．212eea1e2e45212eeb||ba2.4平面向量的数量积及运算律小结:(1)向量的数量积的物理模型是力的做功.(2)a·b的结果是个数量.(3)利用数量积可以求两向量的夹角,特别是可以判定垂直.(4)二向量的夹角范围[0,п].(5)五条性质要掌握.2.4平面向量的数量积及运算律作业:1.课本P121习题5.6第2题,第3题,第6题