第8讲--矩阵的直积及其应用

第8讲矩阵的直积及其应用内容：1.矩阵直积的定义与性质2.矩阵直积在解矩阵方程中的应用矩阵直积（Kronecker积）在矩阵论及系统控制等工程研究领域有十分重要的应用．运用矩阵直积运算，能够将线性矩阵方程转化为线性代数方程组．§1矩阵直积的定义与性质1.1矩阵直积定义1.1设nmijCaA)(，qpijCbB)(，称如下的分块矩阵BaBaBaBaBaBaBaBaBaBAmnmmnn212222111211为A与B的直积（Krionecker积，张量积），记为BA．BA是一个nm个块的分块矩阵，简写为nqmpijCBaBA)(．显然BA与AB为同阶矩阵，但一般ABBA，即矩阵的直积不满足交换律.对单位矩阵，有mnnmmnEEEEE.例1.1设1001A，)1,1(B，则11000011BA，10100101AB.定义1.2若nTnTnCyyyyxxxx),,,(,),,,(2121，则TTyxxy，称Txy为向量x与y的外积.1.2矩阵直积的性质定理1.1矩阵的直积具有如下基本性质：（1）)()()(kBABkABAk；（2）)()(CBACBA；（3）CABACBA)(，ACABACB)(；（4）TTTBABA)(；（5）HHHBABA)(；（6）若,,,,tqsnqpnmCDCCCBCA则)()())((BDACDCBA，若gEB，nEC，则DADEEAng))((；（7）若A，B均可逆，则BA可逆，且111)(BABA；（8）若A和B都是对角矩阵、上（下）三角矩阵、实对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵，则BA也分别是这种类型的矩阵.定义1.3二元复系数多项式为ljijiijyxcyxf0,),(，若矩阵mmCA，nnCB，则mn阶矩阵ljijiijBAcBAf0,),(，其中mEA0，nEB0.定理1.2设ljijiijyxcyxf0,),(，ljijiijBAcBAf0,),(，mmA的特征值为m,,,21，nnB的特征值为n,,,21，则),(BAf的全体特征值为),(jif，),,2,1,,,2,1(njmi．证明由Schur定理知存在酉矩阵QP,使得121*AAPPmH，121*BAQQnH，其中1A，1B为上三角矩阵，由定理1.1知，QP为酉矩阵，jiBA11为上三角矩阵，则))(,()(1QPBAfQP)())((0,QPBAQPcljijiHHij),()()(110,110,BAfBAcQBQPAPcljijiijljijHiHij也是上三角矩阵.且),(BAf与)(11，BAf有相同的特征值.则)(11，BAf的对角元即为),(BAf的全部特征值.因为jimjijijiBBBBA1121111*，jnikjikjikjikB211*．因此，),(11BAf的对角元为),(jif，),,2,1,,,2,1(njmi．推论1.1设mmA的特征值为m,,,21，nnB的特征值为n,,,21，则（1）BA的特征值为ji，),,2,1,,,2,1(njmi；（2）BEEAmn的mn个特征值为ji，mi,,2,1，nj,,2,1；（3）mnBABA))(det())(det)det(；（4）))(()(trBtrABAtr.定理1.3设qpnmCBCA,，则)()()(BrankArankBArank．证明记ArArank)(，BrBrank)(，有相应阶数的可逆矩阵TSQP,,,使得11000,000BESBTAEPAQBArr，则)()(111111TBSQAPBA))()((111111TQBASP，由11SP，11TQ可逆，则)()()()(11BrankArankrrBArankBArankBA．§2矩阵直积在解矩阵方程中的应用2.1矩阵的拉直定义2.1设nmijCaA)(，Tniiiiaaa),,,(21，),,2,1(ni，令nA21)(vec，称)(vecA为矩阵A的列拉直．矩阵A也可以按行拉直为行向量，记作)(rvecA，有TTAA))(vec()(rvec,TTArA))(vec()(vec．定理2.1设qppnnmCCCBCA,,，则)(vec)()(vecBACABCT．证明记),,,(),,,,(2121qpcccCbbbB，则),,,()(vec21qABcABcABcABCqABcABcABc21，而ppiiiiAbcAbcAbcABc2211)(vec),,,(21BAcAcAcpiii故)(vec)()(vec)(vec212221212111BACBAcAcAcAcAcAcAcAcAcABCTpqqqpp．推论2.1设nmnnmmCXCBCA,,，则（1）)(vec)()(vecXAEAXn；（2）)(vec)()(vecXEBXBmT；（3）).(vec)()(vecXEBAEXBAXmTn2.2线性矩阵方程在系统控制等工程领域，经常遇到矩阵方程（Lyapunov型方程）FXBAX的求解问题，其中mmCA，nnCB，nmCF为已知常数矩阵，nmCX为未知矩阵.利用矩阵的直积和拉直，可以给出线性矩阵方程的可解性及解法.一般的线性矩阵方程可表示为CXBAXBAXBApp2211，其中nmnnimmiCCpiCBCA),,,2,1(,为已知常数矩阵，nmCX未知矩阵.定理2.2线性矩阵方程CXBAXBAXBApp2211有解的充分必要条件是)()(bArankArank，其中piiTiABA1，)(vecCb，nmnnimmiCCpiCBCA),,,2,1(,为已知常数矩阵，nmCX未知矩阵.证明piiiCXBA1有解，)()(1piiiCvecXBAvec有解)()(1piiiCvecXBAvec有解，)()()(1piiTiCvecXvecAB有解)()(bArankArank定理2.3设mmA的特征值为m,,,21，nnB的特征值为n,,,21，则矩阵方程FXBAX有唯一解的充要条件是0ji，),,2,1,,,2,1(njmi，其中mmCA，nnCB，nmCF为已知常数矩阵，nmCX为未矩阵．证明FXBAX有唯一解，)(vec)(vecFXBAX有唯一解)()()(FvecXvecEBAEmTn有唯一解mTnEBAE的特征值不为零),,2,1,,,2,1(0njmiuji推论2.1设mmA的特征值为m,,,21，nnB的特征值为n,,,21，则矩阵方程0XBAX有非零解的充分必要条件是存在i与j，使0jiu，)1,1(njmi．推论2.2设nnCA，则矩阵方程FXAAXH有唯一解的充分必要条件是)(A时必有)(A，其中)(A为A的谱，为的共轭复数.定理2.4设mmA的特征值为m,,,21，nnB的特征值为n,,,21，则矩阵方程liiiFXBA1有唯一解的充分必要条件是0)(1ljiji，),,2,1,,,2,1(njmi．其中F为已知常数矩阵，X为未知矩阵．定理2.5若矩阵方程FXBAX中矩阵BA,的所有特征值具有负实部（称这类矩阵为稳定矩阵），则该矩阵方程有唯一解0dtFeeXBtAt，其中mmCA，nnCB，nmCF为已知常数矩阵，nmCX为未知矩阵．证明设A的特征值为m,,,21，存在可逆矩阵mmCP，使mmmAPP11111，其中，i取0或1．则11PTeePeAttAtm，这里，AT为单位上三角矩阵，它的非零元素的形式为),0(,Ramkatk.设B的特征值为n,,,21，类似可得出，存在可逆矩阵Q，11QTeeQeBttBtn，其中，BT为单位上三角矩阵，它的非零元素的形式为),0(,Rbnkbtk．因1111QTeeFQPTeePFeeBttAttBtAtnm的右端乘积矩阵的元素都是因子tjie)(的关于t的多项式倍数的组合，且积分0dtFeeBtAt存在．令BtAtFeetY)(，则BtYtAYdttdY)()()(，FtYt0|)(．两边求积分，可得000()|()(())YtAYtdtYtdtB，即FBdttYdttYA))(())((00．也就是FXBAX的解，因积分0)(dttY存在，且BA,的所有特征值实部为负，则0limAtte，0limBtte．唯一性可由定理2.3得出.推论2.3设mmCA的特征值满足),,2,1(,0)Re(mii，则方程FXAXAH的唯一解为0dtFeeXAttAH．如果F为Hermite正定矩阵，则解矩阵X也是Hermite正定矩阵．证明只需证明后一结论即可.当FFH时，有XXH．且对mCx0，由于Ate可逆，则0xeAt，于是当F正定时，有0)()(xeFxeAtHAt，从而有0)()(0dtxeFxeXxxAtHAtH，故X为正定矩阵．