直线与圆锥曲线位置关系的综合应用

§9.8直线与圆锥曲线位置关系的综合应用要点梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程f(x，y)＝0.基础知识自主学习由Ax＋By＋C＝0f(x，y)＝0，消元如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.a．Δ___0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b．Δ___0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c．Δ___0时，直线和圆锥曲线没有公共点．=2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝_____________或|P1P2|＝________________.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)．(3)求经过圆锥曲线的焦点的弦的长度，应用圆锥曲线的定义，转化为两个焦半径之和，往往比用弦长公式简捷．1＋k2|x1－x2|1＋1k2|y1－y2|基础自测1．顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线经过点(3,－23)，过焦点且倾斜角为45°的直线与抛物线交于M、N两点，则|MN|等于()A.13B．8C．16D．82解析设所求抛物线方程为y2＝2px(p0)，根据已知条件12＝6p，∴2p＝4，则所求抛物线方程为y2＝4x，|MN|＝2psin245°＝8.B2．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.－12，12B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4]解析∵y2＝8x，∴Q(－2,0)(Q为准线与x轴的交点)，设过Q点的直线l方程为y＝k(x＋2)，∵l与抛物线有公共点，∴方程组y2＝8x，y＝k(x＋2)，有解，即k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0有解，∴Δ＝(4k2－8)2－16k4≥0，即k2≤1.∴－1≤k≤1.答案C3．已知(4,2)是直线l被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点，则l的方程为()A．x－2y＝0B．x＋2y－4＝0C．2x＋3y＋4＝0D．x＋2y－8＝0解析设l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x2136＋y219＝1，x2236＋y229＝1.两式相减，得kAB＝y1－y2x1－x2＝－9(x1＋x2)36(y1＋y2)＝－2×44×2×2＝－12.∴l的方程为：y－2＝－12(x－4)，即x＋2y－8＝0.D4．过椭圆3x2＋4y2＝48的左焦点引斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，则|AB|等于()A.127B.247C.487D.967解析由3x2＋4y2＝48得x216＋y212＝1,∴a2＝16,b2＝12，则c＝a2－b2＝2.过椭圆左焦点F(－2,0)且斜率为1的直线方程为y＝x＋2，将其代入3x2＋4y2＝48整理得7x2＋16x－32＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|＝(a＋ex1)＋(a＋ex2)＝2a＋e(x1＋x2)＝8＋12×(－167)＝487.C5．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于()A．3B．4C．32D．42解析由题意知，直线y＝x＋b与y＝－x2＋3交于两点，联立得x2＋x＋b－3＝0，线段AB的中点为－12，12，代入直线方程y＝x＋b，得－12－12＋b＝0，即b＝1，∴x2＋x－2＝0，x＝1或－2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＝1时，y1＝2，当x2＝－2时，y2＝－1.∴|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝32.C题型一直线与圆锥曲线的位置关系【例1】若曲线y2＝ax与直线y＝(a＋1)x－1恰有一个公共点，求实数a的值．思维启迪先用代数方法即联立方程组解决，再从几何上验证结论，注意运用数形结合思想以及分类讨论思想．解联立方程y＝(a＋1)x－1y2＝ax.(1)当a＝0时，此方程组恰有一组解为x＝1y＝0.典型例题深度剖析(2)当a≠0时，消去x，得a＋1ay2－y－1＝0.①若a＋1a＝0，即a＝－1，方程变为一元一次方程－y－1＝0.方程组恰有一组解x＝－1y＝－1.②若a＋1a≠0，即a≠－1.令Δ＝0，得1＋4(a＋1)a＝0，可解得a＝－45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点．综上所述知,当a＝0,－1,－45时,直线与曲线y2＝ax恰有一个公共点．探究提高本题设计了一个思维“陷阱”，即审题中误认为a≠0，解答过程中的失误就是不讨论二次项系数a＋1a＝0，即a＝－1的可能性，从而漏掉两解．本题用代数方法解完后，应从几何上验证一下：①当a＝0时，曲线y2＝ax即为直线y＝0，此时与已知直线y＝x－1恰有一个交点(1,0)；②当a＝－1时，直线y＝－1与抛物线y2＝－x的对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零)；③当a＝－45时，直线y＝15x－1与抛物线y2＝－45x相切．知能迁移1在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y正半轴的交点分别为A、B，是否存在实数k，使得共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.ABOQOP与解(1)由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋2，代入椭圆方程得x22＋(kx＋2)2＝1，整理得12＋k2x2＋22kx＋1＝0①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－412＋k2＝4k2－20，解得k－22或k22.即k的取值范围为－∞，－22∪22，＋∞.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程式①，x1＋x2＝－42k1＋2k2②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋22③x1＋x2＝－2(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k＝22.由(1)知k－22或k22，故没有符合题意的常数k.OPOQ则2(2,1)ABABOPOQAB而(,0),(0,1),所以与共线等价于题型二圆锥曲线中的弦长问题【例2】已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2＋3y2＝4上，C在直线l：y＝x＋2上，且AB∥l.(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；(2)当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．思维启迪(1)求弦长|AB|→△ABC的AB边上的高即原点O到l的距离h→△ABC的AB边上的高即原点O到l的距离h→S△ABC＝12|AB|·h.将|AC|表示成m的函数→将|AC|表示成m的函数→由AC最大确定m的值．解(1)因为AB∥l，且AB边通过点(0,0)，所以AB所在直线的方程为y＝x.设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由x2＋3y2＝4，y＝x，得x＝±1，所以|AB|＝2|x1－x2|＝22.又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以h＝2，S△ABC＝12|AB|·h＝2.(2)设AB所在直线的方程为y＝x＋m.由x2＋3y2＝4，y＝x＋m，得4x2＋6mx＋3m2－4＝0.因为A，B在椭圆上，所以Δ＝－12m2＋640.设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．则x1＋x2＝－3m2，x1x2＝3m2－44，所以|AB|＝2|x1－x2|＝32－6m22.又因为BC的长等于点(0，m)到直线l的距离，即|BC|＝|2－m|2.因为|AC|2＝|AB|2＋|BC|2＝－m2－2m＋10＝－(m＋1)2＋11，所以当m＝－1时，AC边最长，(这时Δ＝－12＋640)此时AB所在直线的方程为y＝x－1.探究提高主要考查直线与二次曲线相交所得弦长问题的解法，弦长公式、整体代入等运算方法和运算技巧．解答此类问题要注意避免出现两种错误：(1)对直线l斜率的存在性不作讨论而直接设为点斜式，出现漏解或思维不全造成步骤缺失．(2)是对二次项系数不为零或Δ≥0这个前提忽略而直接使用根与系数的关系．知能迁移2已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值．解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意得ca＝63a＝3，∴c＝2，b＝1.∴所求椭圆方程为x23＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．①当l⊥x轴或l∥x轴时，|AB|＝3.②当l与x轴不垂直且不平行时，设直线l的方程为y＝kx＋m.由已知|m|1＋k2＝32，得m2＝34(k2＋1)．把y＝kx＋m代入椭圆方程整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，∴x1＋x2＝－6km3k2＋1，x1x2＝3(m2－1)3k2＋1.∴|AB|2＝(1＋k2)36k2m2(3k2＋1)2－12(m2－1)3k2＋1＝12(k2＋1)(3k2＋1－m2)(3k2＋1)2＝3(k2＋1)(9k2＋1)(3k2＋1)2＝3＋12k29k4＋6k2＋1＝3＋129k2＋1k2＋6(k≠0)≤3＋122×3＋6＝4，当且仅当9k2＝1k2，即k＝±33时等号成立．综上所述，|AB|max＝2.∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值此时，S＝12×|AB|max×32＝32.题型三圆锥曲线的弦中点问题【例3】已知椭圆x22＋y2＝1的左焦点为F,为坐标原点．(1)求过点O、F,且与直线l:－2相切的圆的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．思维启迪(1)求出圆心和半径，得出圆的标准方程；(2)设直线AB的点斜式方程，由已知得出线段AB的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解．解(1)∵a2＝2，b2＝1，∴c＝1，F(－1,0)，∵圆过点O，F，∴圆心M在直线x＝－12上．设M(－12，t)，则圆半径r＝|(－12)－(－2)|＝32，由|OM|＝r，得(－12)2＋t2＝32，解得t＝±2，∴所求圆的方程为(x＋12)2＋(y±2)2＝94.(2)设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)．代入x22＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.∵直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，∴方程有两个不等实根．记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1＋x2＝－4k22k2＋1，x0＝12(x1＋x2)＝－2k22k2＋1，y0＝k(x0＋1)＝k2k2＋1，∴AB的垂直平分线NG的方程为y－y0＝－1k(x－x0)．令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－2k22k2＋1＋k22k2＋1＝－k22k2＋1＝－12＋14k2＋2，∵k≠0，∴－12xG0，∴点G横坐标的取值范围为(－12，0)．探究提高直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．知能迁移3设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，